Количество стационарных точек квадратичной функции

[Lenar0809]

Здравствуйте! Подскажите пожалуйста, сколько стационарных точек может быть у квадратичной функции нескольких переменных, при условии, что она не выпукла и не вогнута? И чем обосновывается их количество?

[bot]

Lenar0809, сколько стационарных точек у квадратичной формы $(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2?$

-- Ср окт 21, 2015 12:25:27 --

Ах, да - она выпукла. Ну тогда у $(x_1+\ldots+x_k)^2-(x_{k+1}+\ldots+x_n)^2?$

[ewert]

Lenar0809 в сообщении #1064948 писал(а):

сколько стационарных точек может быть у квадратичной функции нескольких переменных,

Сколько решений может иметь однородная система линейных уравнений?

[Lenar0809]

А если функция содержит элементы типа $x^2y^2$?

[Xaositect]

Lenar0809 в сообщении #1064956 писал(а):

А если функция содержит элементы типа $x^2y^2$?

То это не квадратичная функция. Сформулируйте точно, какие именно функции Вы рассматриваете.

[Lenar0809]

Извиняюсь. Тогда получается полином от нескольких переменных с максимальной степенью 2.

[Brukvalub]

Lenar0809 в сообщении #1064965 писал(а):

полином от нескольких переменных с максимальной степенью 2.

не обязательно является квадратичной формой. Хорошо бы сначала четко понять, чего хочется, и только после этого вопрошать.

[Xaositect]

Lenar0809 в сообщении #1064965 писал(а):

Извиняюсь. Тогда получается полином от нескольких переменных с максимальной степенью 2.

Имеется в виду степень $2$ по каждой переменной? Тогда может быть бесконечное число стационарных точек ($x^2 y^2$), а если их конечно, то количество может быть экспоненциальным по числу переменных ($(x_1^2 - 1)(x_2^2 - 1)\dots (x_n^2 - 1)$). Экспоненциальное число стационарных точек - это типичный случай, это известная проблема в оптимизации, что как только мы вылезаем из выпуклых функций, оптимизация становится NP-трудной.

[Lenar0809]

К примеру полином: $f(x_1,x_2)=a_1x_1^2+a_2x_2^2-a_3x_1^2x_2^2+a_4x_1^2x_2+a_5x_1x_2^2+a_6x_1x_2+a_7x_1+a_8x_2+1$.Как определить, сколько у него будет стационарных точек?

[мат-ламер]

Тут теория Морса случаем ни коим боком?

[Xaositect]

мат-ламер в сообщении #1065190 писал(а):

Тут теория Морса случаем ни коим боком?

Близко, но все-таки не то.

Lenar0809 в сообщении #1065176 писал(а):

Как определить, сколько у него будет стационарных точек?

Надо решать уравнение $\operatorname{grad} f = 0$, просто так не получится.
Если надо автоматически это находить, то можно найти частные производные $\operatorname{grad} f = (p, q)$, построить базис Гребнера идеала $I = \langle p, q \rangle$, с помощью него проверить, что алгебра $A = \mathbb{C}[x,y]/I$ конечномерна и построить структурные константы этой алгебры, найти радикал этой алгебры и размерность $A/\operatorname{rad} A$, это и будет количество корней. Какого-то более простого пути я не вижу.

[Lenar0809]

Если решать уравнение $\operatorname{grad} f = 0$, то получается система из двух уравнений второй степени. И количество корней - 2 ? Или не обязательно?

[Xaositect]

Lenar0809 в сообщении #1065222 писал(а):

Если решать уравнение $\operatorname{grad} f = 0$, то получается система из двух уравнений второй степени.

Третьей. У Вас там $x_1^2 x_2^2$ есть. Два уравнения третьей степени от двух переменных в типичном случае имеют 9 корней.

[Lenar0809]

Спасибо. Просто поясню, у меня как раз стоит задача оптимизации функции, в которой присутствуют приведённые полиномы. А вообще, количество нелинейных переменных - 8. Ну и похоже оценивать количество стационарных точек бесполезно. Без динамического программирования не обойтись