Рациональность корней. Задача с параметром.

[integral2009]

Здравствуйте! Есть вопрос по задаче.

При каких целых значениях $n$ корни уравнения $nx^2+(2n-1)x+n-2=0$ рациональны?

При $n=0$ корень будет рациональным. При $n\ne 0$

$x=\dfrac{1-2n\pm \sqrt{(2n-1)^2-4(n-2)}}{2n}$

Для этого нужно, чтобы $ \sqrt{(2n-1)^2-4n(n-2)}$ был целым числом

$\sqrt{(2n-1)^2-4n(n-2)}=k$

$4n^2-4n+1-4n^2+8n=k^2$

$4n+1=k^2$

А как тут честно искать решения в целых числах? Сразу видно два решения: $n=2, k=\pm 3$

[TOTAL]

integral2009 в сообщении #1064989 писал(а):

$4n+1=k^2$
А как тут честно искать решения? Сразу видно два решения: $n=2, k=\pm 3$

В лоб: $n=(k^2-1)/4$ (указать $k$)

[integral2009]

Спасибо! А как его указать? Перебором?

Я вот думал насчет того -- на что оканчивается квадрат целого числа, ну итп, но это не привело к успеху. Пробовал рассматривать числитель написанной вами дроби как разность квадратов, расписав по формуле $(k-1)(k+1)$, тоже не помогло. А как дальше, если в лоб, но не перебор же значений вы имеете ввиду?

[TOTAL]

integral2009 в сообщении #1064998 писал(а):

Спасибо! А как его указать? Перебором?

Переберите первые десять натуральных чисел $k$, найдите закономерность.

[provincialka]

Вообще-то сразу видно, что $k$ -- нечетное! Впрочем, для общего образования не вредно и по-перебирать!

[integral2009]

Все понял, сильно тупанул, спасибо!