Сигма-алгебры, подмножества.

[r.t.w.z]

Пусть $F_1$ и $F_2$ -- сигма-алгебры подмножеств $\Omega$.

Обозначим $S=\sigma(B_1\cup B_2: B_1\in F_1, B_2\in F_2)$ Всегда ли $S=\sigma (F_1\cup F_2)$?

Мне кажется, что не всегда. Потому как $B_1$ замкнута относительно дополнения и $B_2$ замкнута, но из этого не следует, что объединение замкнуто. Прав ли я?

[grizzly]

r.t.w.z в сообщении #1064067 писал(а):

Прав ли я?

Нет, Вы что-то не то говорите. И формулировки у Вас неаккуратные (что значит "$B_1$ замкнута"? -- кто такая $B_1$?); и выводы неправильные -- если уж какое-то множество попало внутрь сигма-алгебры или было там образовано, то дополнение к нему мы обязаны включить (хотя бы по определению сигма-алгебры). Или законы де Моргана вспомните, на худой конец.
Надеюсь, правильно понял Ваше затруднение, но не уверен. А чтобы проверить, что одна сигма-алгебра -- $S$ -- совпадает с другой, убедитесь, что "база" первой попадает во вторую и наоборот.

[2old]

Пусть $F_1=\{\o, \Omega, A_1, \overline{A_1}\}$, $F_2=\{\o, \Omega, A_2, \overline{A_2}\}$.
$B_1=\o\in F_1$, $B_2=\Omega\in F_2$, $\sigma(B_1\cup B_2)=\{\o,\Omega\}$,$\sigma(F_1,F_2)$ очевидно другая. Вроде все

[r.t.w.z]

2old в сообщении #1064217 писал(а):

Пусть $F_1=\{\o, \Omega, A_1, \overline{A_1}\}$, $F_2=\{\o, \Omega, A_2, \overline{A_2}\}$.
$B_1=\o\in F_1$, $B_2=\Omega\in F_2$, $\sigma(B_1\cup B_2)=\{\o,\Omega\}$,$\sigma(F_1,F_2)$ очевидно другая. Вроде все

А другая -- это какая?

[2old]

r.t.w.z
Там много уже писать, но там как минимум есть еще $A_1$ и $A_2$. А если полностью, то и их пересечения, пересечения с дополнениями, дополнения к этому всему.

[grizzly]

2old
Запись $S=\sigma(B_1\cup B_2: B_1\in F_1, B_2\in F_2)$ подразумевает, что множества $B_1, B_2$ пробегают все соответствующие сигма-алгебры.

[2old]

grizzly
Тогда я извиняюсь что залез