2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 21:57 
Аватара пользователя
Последовательность ${a_n}$ имеет вид $$a_n=(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4})...(1+\frac{1}{2^n})$$
Доказать, что $a_n$ сходится.
Мои идеи:
Докажем, что последовательность монотонно возрастает, то есть выполняется условие $a_{n+1}-a_n>0$. Оно выполняется для всех $n\in\mathbb{N}$, поскольку $a_{n+1}=k(a_n)$, где $k>1$.
Теперь нужно доказать, что она ограничена сверху, тогда она будет сходится по теореме Вейерштрасса, но я не понимаю, как доказать ограниченность.
Заранее спасибо.

 
 
 
 Re: Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 22:09 
Прологарифмируйте.

 
 
 
 Re: Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 22:25 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #1064086 писал(а):
Прологарифмируйте.

Получается вроде $$\sum\limits_{n=1}^{m}\ln\frac{2n}{2n+1}$$ Чем это ограниченно?

 
 
 
 Re: Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 22:28 
Аватара пользователя
Поправьте $n$ -- оно же в показателе должно быть? И вообще формула странная...

А знаете ли вы какие-нибудь оценки для логарифма?

 
 
 
 Re: Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 22:35 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #1064095 писал(а):
Поправьте $n$ -- оно же в показателе должно быть? И вообще формула странная...

А знаете ли вы какие-нибудь оценки для логарифма?

$\ln(1+x)\leqslant x$, например, но тут никакой не вижу.

 
 
 
 Re: Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 22:36 
Аватара пользователя
Именно эта оценка. Только запишите аккуратно логарифм.

 
 
 
 Re: Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 22:44 
По-хорошему, конечно, нужно логарифмировать. Но не так трудно и без логарифмов. Очевидно, что члены последовательности оцениваются сверху через геометрическую прогрессию со знаменателем хоть и бОльшим единицы, но сколь угодно близким к единице и уж во всяком случаем меньшим, чем двойка. А разность двух соседних членов получается делением первого из них на геометрическую прогрессию со знаменателем два. Соответственно, эта разность...

 
 
 
 Re: Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 22:46 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #1064101 писал(а):
Именно эта оценка. Только запишите аккуратно логарифм.

Получается, что $$\sum\limits_{m=1}^{n}\ln\frac{2n}{2n+1}\leqslant\sum\limits_{m=1}^{n}-\frac{1}{2n+1}$$
Так?

 
 
 
 Re: Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 22:47 
iou
Все сначала. Прологарифмируйте.

 
 
 
 Re: Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 22:56 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #1064107 писал(а):
iou
Все сначала. Прологарифмируйте.

Поэтапно пишу свои действия:
Логарифмирую $a_n=(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4})...(1+\frac{1}{2^n})$ по основанию $e$, получаю $\ln((1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4})...(1+\frac{1}{2^n}))$, то есть $\ln(1+\frac{1}{2})+\ln(1+\frac{1}{4})+...+\ln({1+\frac{1}{2^n})$ или $\sum\limits_{m=1}^{n}\ln\frac{2^n+1}{2^n}$

 
 
 
 Re: Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 22:57 
Хорошо. Дальше.

PS Не правьте на ходу, уже нехорошо.

 
 
 
 Re: Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 22:58 
Аватара пользователя
ewert
Не пугайте ТС-а! У нас тут с логарифмированием проблемы :wink:

-- 18.10.2015, 22:59 --

iou
Собственно, зачем к общему знаменателю приводить?

 
 
 
 Re: Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 23:02 

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1064116 писал(а):
У нас тут с логарифмированием проблемы :wink:

а я, уже после того, как запостил -- сильно заподозрил, что логарифмов на тот момент и вовсе не предполагалось. Тема-то существенно более ранняя, чем 2-й ЗП.

 
 
 
 Re: Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 23:02 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #1064115 писал(а):
Хорошо. Дальше.

PS Не правьте на ходу, уже нехорошо.

Прошу прощения. Но в этот раз правильно ведь?
provincialka в сообщении #1064116 писал(а):
ewert

iou
Собственно, зачем к общему знаменателю приводить?

Я хотел привести это выражение к виду $1+q$ и оценить.

 
 
 
 Re: Доказать, что последовательность сходится
Сообщение18.10.2015, 23:05 
Аватара пользователя
iou в сообщении #1064120 писал(а):
Я хотел привести это выражение к виду $1+q$ и оценить.

То есть? Так оно и было в таком виде!

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group