Гомеоморфизм Бутылки Клейна и Проективной плоскости

[lim]

Приветствую участников форума! Недавно был предложен вопрос: Гомеоморфна ли Бутылка $P\mathbb{R}^2$? По-видимому негомеоморфны (см. ниже), но не могу утвердить это док-вом: Нужно разрезать. Я разрезал бутылку по горлышку (и вытащил самопересечение в $\mathbb{R}^3$ наружу) -- получил цилиндр. Но мне сказали это не то. Теперь я понимаю, что бутылку надо разрезать по продольной оси симметрии. Наверное это будет лента. Правильно ли я мыслю?
PS: а как Вы видите проективную плоскость?

[Munin]

Нарисуйте и то и другое в виде клеток со склеенными краями. Так рассуждать удобней, чем напрягать 3-мерное воображение.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1062585 писал(а):

Нарисуйте и то и другое в виде клеток со склеенными краями.

В книге Масси и Столлингса (пар.1.4) показано, как из квадрата склеить оба объекта отождествлением точек границы. Далее рассказывается про топологические инварианты.

[Dmitry Tkachenko]

lim, бутылка гомеоморфна связной сумме двух $\mathbb{R}\mathrm{P}^2.$

Можно показать, что $T \sharp 2 \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong 3 \mathbb{R}\mathrm{P}^2.$ Также можно показать, что в случае $m,n \geqslant 1$ справедлива такая формула: $mT \sharp n \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong (2m+n) \mathbb{R}\mathrm{P}^2$

[lim]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1063670 писал(а):

lim, бутылка гомеоморфна связной сумме двух $\mathbb{R}\mathrm{P}^2.$

Можно показать, что $T \sharp 2 \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong 3 \mathbb{R}\mathrm{P}^2.$ Также можно показать, что в случае $m,n \geqslant 1$ справедлива такая формула: $mT \sharp n \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong (2m+n) \mathbb{R}\mathrm{P}^2$

Честно --- вообще ничего не понял. Пока этим ещё не на столько сильно занимаюсь. Да и вопрос в принципе-то в несколько другом: как показать их негомеоморфность?
Если оттолкнуться от топологических инвариантов (что предложили выше), то нужно показать (это пока то, что я понимаю), что у одной поверхности есть такое множество точек $A$, что его индекс равен $i(A)=u$, а на другой поверхности множества с таким индексом нет.
Или (если Вы --- тополог - подскажите) например разрезать и показать это через неориентируемость/ориентируемость получившихся поверхностей?
Спасибо.

[мат-ламер]

lim в сообщении #1063726 писал(а):

Или (если Вы --- тополог - подскажите) например разрезать и показать это через неориентируемость/ориентируемость получившихся поверхностей?

Как проективная плоскость, так и бутылка Клейна неориентируема. Зато у них разная эйлерова характеристика.