2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гомеоморфизм Бутылки Клейна и Проективной плоскости
Сообщение14.10.2015, 17:28 


10/10/14

54
Russia
Приветствую участников форума! Недавно был предложен вопрос: Гомеоморфна ли Бутылка $P\mathbb{R}^2$? По-видимому негомеоморфны (см. ниже), но не могу утвердить это док-вом: Нужно разрезать. Я разрезал бутылку по горлышку (и вытащил самопересечение в $\mathbb{R}^3$ наружу) -- получил цилиндр. Но мне сказали это не то. Теперь я понимаю, что бутылку надо разрезать по продольной оси симметрии. Наверное это будет лента. Правильно ли я мыслю?
PS: а как Вы видите проективную плоскость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм Бутылки Клейна и Проективной плоскости
Сообщение14.10.2015, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Нарисуйте и то и другое в виде клеток со склеенными краями. Так рассуждать удобней, чем напрягать 3-мерное воображение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм Бутылки Клейна и Проективной плоскости
Сообщение14.10.2015, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Munin в сообщении #1062585 писал(а):
Нарисуйте и то и другое в виде клеток со склеенными краями.

В книге Масси и Столлингса (пар.1.4) показано, как из квадрата склеить оба объекта отождествлением точек границы. Далее рассказывается про топологические инварианты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм Бутылки Клейна и Проективной плоскости
Сообщение17.10.2015, 13:39 


11/07/14
132
lim, бутылка гомеоморфна связной сумме двух $\mathbb{R}\mathrm{P}^2.$

Можно показать, что $T \sharp 2 \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong 3 \mathbb{R}\mathrm{P}^2.$ Также можно показать, что в случае $m,n \geqslant 1$ справедлива такая формула: $mT \sharp n \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong (2m+n) \mathbb{R}\mathrm{P}^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм Бутылки Клейна и Проективной плоскости
Сообщение17.10.2015, 18:31 


10/10/14

54
Russia
Dmitry Tkachenko в сообщении #1063670 писал(а):
lim, бутылка гомеоморфна связной сумме двух $\mathbb{R}\mathrm{P}^2.$

Можно показать, что $T \sharp 2 \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong 3 \mathbb{R}\mathrm{P}^2.$ Также можно показать, что в случае $m,n \geqslant 1$ справедлива такая формула: $mT \sharp n \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong (2m+n) \mathbb{R}\mathrm{P}^2$

Честно --- вообще ничего не понял. Пока этим ещё не на столько сильно занимаюсь. Да и вопрос в принципе-то в несколько другом: как показать их негомеоморфность?
Если оттолкнуться от топологических инвариантов (что предложили выше), то нужно показать (это пока то, что я понимаю), что у одной поверхности есть такое множество точек $A$, что его индекс равен $i(A)=u$, а на другой поверхности множества с таким индексом нет.
Или (если Вы --- тополог - подскажите) например разрезать и показать это через неориентируемость/ориентируемость получившихся поверхностей?
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм Бутылки Клейна и Проективной плоскости
Сообщение18.10.2015, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
lim в сообщении #1063726 писал(а):
Или (если Вы --- тополог - подскажите) например разрезать и показать это через неориентируемость/ориентируемость получившихся поверхностей?

Как проективная плоскость, так и бутылка Клейна неориентируема. Зато у них разная эйлерова характеристика.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group