Продолжения непрерывных отображений

[Mikhail_K]

Пусть $X$, $Y$ - метрические пространства, $Y$ - полное, отображение $f:D(f)\subset X\to Y$ непрерывно в том смысле, что при $x_n\to x_0$, где все $x_n$ и $x_0$ принадлежат $D(f)$, справедливо $f(x_n)\to f(x_0)$.
Тогда существует продолжение $\bar f:X\to Y$, $D(\bar f)=X$ отображения $f$ на всё пространство $X$, такое, что $\bar f$ непрерывно во всех точках $D(f)$.

Но это довольно нетривиальная и не широко известная теорема. Для неполных $Y$ она, кстати, неверна.

Меня интересуют её любые более широко известные и относительно просто доказываемые аналоги (вне зависимости, утверждают ли они что-то новое по сравнению с утверждением выше). Например, может быть, существует широко известная подобная теорема, когда $X$ и $Y$ - это $\mathbb{R}^n$? Может быть, в данном случае даже можно сказать что-то большее, чем в случае общем - например, непрерывность $\bar f$ не только в точках $D(f)$, но и на всём $X$ (вряд ли, конечно - но, может что-то подобное)?
Вообще, насколько хорошие можно построить продолжения $f$, заданные на произвольном множестве $D(f)$, на всё пространство, быть может, в каких-то частных случаях? Интересуют продолжения именно на всё пространство, теорема о том, что любое непрерывное на своей области определения отображение можно продолжить на подмножество его замыкания, имеющее тип $G_\delta$, мне известна.

[lyuk]

Эта теорема настолько нетривиальна, что неверна. Она неверна:

1) для незамкнутых $D(f)$ и $Y=\mathbb R$;

2) для замкнутых $D(f)$ и $Y$ полных.

[provincialka]

lyuk
Приведите, пожалуйста, пример, хотя бы для п. 1)
(Надеюсь, вы учитываете, что непрерывность требуется только в $D(f)$?)

[Mikhail_K]

lyuk, теорема верна и я знаю её доказательство. Для продолжения на всё $X$ требуется непрерывность только в точках области определения исходного отображения.
Меня интересуют всевозможные аналоги этой теоремы. Впрочем, я уже понимаю, что для $\mathbb{R}^n$ не удастся получить ничего существенно нового.

[lyuk]

Каюсь. Невнимательно посмотрел.

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #1063286 писал(а):

Может быть, в данном случае даже можно сказать что-то большее, чем в случае общем - например, непрерывность $\bar f$ не только в точках $D(f)$, но и на всём $X$

Этого точно не может. Скажем, $D(f)=\mathbb Q$ и $f(x)=\frac1{x^2-2}$. (Вообще-то это контрпример к утверждению теоремы Вейерштрасса для функций, действующих в $\mathbb Q$, но заодно уж и сюда.)

[Mikhail_K]

ewert, спасибо. Ещё пример $f(x)=\sin(1/x)$, $X=Y=\mathbb{R}$, $D(f)=(0,+\infty)$.

----------

Нашёл такую теорему, из отдалённых аналогов.

Если $D(f)$ замкнуто в $X$ и $Y=[0,1]^n$ - $n$-мерный куб, то любое непрерывное отображение $f:D(f)\to Y$ продолжается до непрерывного отображения $f:X\to Y$.

[Mikhail_K]

Очевидно, $n$-мерный куб можно заменить на любую гомеоморфную ему фигуру.
И даже можно так сформулировать:

Если $D(f)$ замкнуто в $X$ и $Y=\mathbb{R}^n$, то любое непрерывное ограниченное отображение $f:D(f)\to Y$ продолжается до непрерывного отображения $f:X\to Y$.