Парадокс плоской электромагнитной волны. Кто объяснит?

[poiuytr]

Кто может объяснить, где ошибка в "парадоксе" плоской электромагнитной волны, заключающемся в том, что если векторы напряженностей электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны, а их модули равны, то из инвариантов электромагнитного поля следует, что в плоской волне напряженности электрического и магнитного полей равны нулю. Рассмотрим его.
Известны инварианты электромагнитного поля $\mathbf{EH}=inv$ и $\mathbf{H}^2-\mathbf{E}^2=inv$. В плоской электромагнитной волне векторы напряженностей электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны, а их модули равны. Тогда оба инварианта для плоской электромагнитной волны равны нулю $\mathbf{EH}=0$ и $\mathbf{H}^2-\mathbf{E}^2=0$. Второй инвариант для плоской волны можно записать в виде $\mathbf{HH}-\mathbf{EE}=0$. Умножим его скалярно на вектор напряженности электрического поля $\mathbf{EHH}-\mathbf{EEE}=0$. Тогда, с учетом равенства нулю первого инварианта, первый член этого выражения равен нулю. В результате получаем: $\mathbf{EEE}=0$ или $\mathbf{E}=0$. Тогда и $\mathbf{H}=0$. Таким образом, получили указанный парадокс.

[kw_artem]

poiuytr в сообщении #1063552 писал(а):

Умножим его скалярно на вектор напряженности электрического поля $\mathbf{EHH}-\mathbf{EEE}=0$. Тогда, с учетом равенства нулю первого инварианта,

Ну, как бы Вы $\mathbf{HH}-\mathbf{EE}$ скалярно умножить на вектор $\mathbf{E}$ не сможете, т.к. первый представляет из себя скаляр, а не вектор. И соответственно проделывамое Вами выше действие -- это всего лишь навсего произведение числа на вектор ($\mathbf{E}$). Так что в $\mathbf{EHH}$ пара $\mathbf{EH}$ далеко не скалярное произведение (первый инвариант). Можете сами расписать покомпонентно все выкладки и убедиться в этом.

[Munin]

Вот такие вещи: $\mathbf{EHH}$ - в векторной алгебре писать строго запрещено. Потому что будет "ошибка типа". Можно либо $\mathbf{E}(\mathbf{HH}),$ либо $(\mathbf{EH})\mathbf{H}.$

Заучите это наизусть.

[AnatolyBa]

Безотносительно к векторной алгебре, это из серии детских арифметических "парадоксов"
$a=0$; $(b-c)a=0$ ;$ab=ac$ ;$b=c$
К физике отношения не имеет

[Munin]

Боюсь, как раз к указанному арифметическому софизму это (прямого) отношения не имеет. Рассуждение основано на подмене $\mathbf{E}(\mathbf{HH})\ne(\mathbf{EH})\mathbf{H},$ где $\mathbf{E}(\mathbf{HH})\ne 0,$ но $(\mathbf{EH})\mathbf{H}=0.$ А дальше-то рассуждение корректно: $\mathbf{EEE}^{?}=0\quad\Rightarrow\quad\mathbf{E}=0,$ как ни расставляй скобочки скалярного произведения.