Связь унитарных и анти-эрмитовых матриц

[TelmanStud]

Доброго дня!
Можно ли из соотношений
$G_x=A\,G$
$G_t=B\,G$, где $A,B$ анти-эрмитовы матрицы, показать, что $G$ будет унитарной?
Матрицы $A,B$ не содержать "голодных" операторов.

[Munin]

А что такое нижний индекс? Частная производная?

-- 16.10.2015 14:45:19 --

Если да, то эти два уравнения интегрируются по отдельности. И из анти-эрмитовости $A$ следует только то, что $G(x_1)[G(x_0)]^{-1}$ будет унитарной. А начальное условие задачи Коши, $G(x_0),$ может быть какой угодно, вплоть до вырожденной и нулевой.

[TelmanStud]

Munin в сообщении #1063355 писал(а):

А что такое нижний индекс? Частная производная?

-- 16.10.2015 14:45:19 --

Если да, то эти два уравнения интегрируются по отдельности. И из анти-эрмитовости $A$ следует только то, что $G(x_1)[G(x_0)]^{-1}$ будет унитарной. А начальное условие задачи Коши, $G(x_0),$ может быть какой угодно, вплоть до вырожденной и нулевой.

Под нижним индексом понимается частная производная.
Я и забыл, что можно интегрировать все пытался вывести из соотношения $G_{xt}=G_{tx}$
Если интегрировать имею $G=e^{xA}G(0,t),\,G=e^{tB}G(x,0)$, как я помню если $A$-антиэрмитова, то $e^{A}$ унитарна. Но тут в показателе $xA$. Какие интересно надо наложить на $G(0,0)$ условия?

[Munin]

TelmanStud в сообщении #1063367 писал(а):

Но тут в показателе $xA$.

Поскольку $x$ - это всего лишь число, то $xA$ настолько же анти-эрмитова, что и $A.$

TelmanStud в сообщении #1063367 писал(а):

Какие интересно надо наложить на $G(0,0)$ условия?

Ну, вы будете иметь $G(x,0)=e^{xA}G(0,0),$ так что слева у вас должна быть унитарная матрица, а справа произведение унитарной на ещё какую-то... Можете догадаться, какой должна быть эта ещё какая-то? ;-)

А вот условием совместности вашей системы уравнений будет $e^{xA}e^{tB}=e^{tB}e^{xA}.$ Что, насколько мне помнится, означает, что собственные подпространства должны совпадать. А, ну это и означает перестановочность $AB=BA.$

[TelmanStud]

Цитата:

Можете догадаться, какой должна быть эта ещё какая-то?

тоже унитарной?

[Munin]

Ага.

[TelmanStud]

Munin в сообщении #1063418 писал(а):

Ага.

Спасибо!
Только вот отмечу, что из равенства $e^{A}e^{B}=e^{B}e^{A}$ не следует, что $AB=BA$

[Nemiroff]

TelmanStud в сообщении #1063429 писал(а):

Только вот отмечу, что из равенства $e^{A}e^{B}=e^{B}e^{A}$ не следует, что $AB=BA$

$\forall t \in \mathbb{R}\; e^{tA}e^{tB} = e^{tB}e^{tA} \Rightarrow AB=BA$

[TelmanStud]

Nemiroff
тогда непонятно.. Я просто вижу расписанными свои матрицы A и B, и они не коммутируют.

[TelmanStud]

TelmanStud в сообщении #1063452 писал(а):

Nemiroff
тогда непонятно.. Я просто вижу расписанными свои матрицы A и B, и они не коммутируют.

Все разобрался. Еще раз спасибо всем

[Munin]

Nemiroff
И $\Leftarrow.$

[arseniiv]

Влево-то очевидно.

[Munin]

Если с умным видом настаивать на очевидных вещах, то сойдёшь за умного человека...