Столкнулся со следующим утверждением: Пусть
![$-$ $-$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/6/2a69f75630cce402c7c381036296bca982.png)
линейное пространство, бесконечной размерности, тогда для любого подпространства
![$F\subset E$ $F\subset E$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/4/13486eb3ff73966f60285b6361c2baf982.png)
существует отличный от нуля линейный функционал на
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
, равный нулю на
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)
. Я пытался доказать это следующим образом: Пускай
![$N_{1}$ $N_{1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/c/a8c56d7942e5915d93aaa9170b180c7b82.png)
является линейным базисом в подпространстве
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)
, тогда определим линейный функционал
![$\varphi:E \to E$ $\varphi:E \to E$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/b/e5b2fc98c85541ee98187480fa04e04b82.png)
таким образом, чтобы
![$\operatorname{Ker}\varphi=F$ $\operatorname{Ker}\varphi=F$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/8/e288829cd296049515ffcc1031e490cd82.png)
, теперь же, пользуясь утверждением о том, что любая линейно-независимая система в
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
может быть дополнена до базиса в
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
, дополним
![$N_{1}$ $N_{1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/c/a8c56d7942e5915d93aaa9170b180c7b82.png)
до базиса в
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
. В итоге мы получили линейный функционал
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
, который равен нулю на
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)
, и(как мне кажется) не равен нулю на
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
Мне видется, что в этом рассуждение имеются логические дыры, а то оно вообще в корне неверно, прошу помощи, дабы разобраться.