Задача с параметром.

[mr.tumkan2015]

Найдите все значения $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции

$f(x)=4x^2+4ax+a^2-2a+2$ на множестве $1\le |x|\le 3$ не меньше $6$.

Переформулируем задачу:

Найти все $a$, при каждом из которых неравенство $g(x)=4x^2+4ax+a^2-2a+2-6\ge 0$ выполняется при всех $x$ на множестве $1\le |x|\le 3$.

Пусть $(x_0,y_0)$ -- вершина параболы. Возможны пять случаев





Верны ли условия для них?

1) Оранжевая парабола:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x_0\leqslant -3\\ f(-3)\geqslant 0\\ \end{array} \right.$

2) Сиреневая (или фиолетовая это называется?) парабола:

$\left\{ \begin{array}{rcl} -1\leqslant x_0\leqslant 1\\ f(-1)\geqslant 0\\ f(1)\geqslant 0\\ \end{array} \right.$

3) Зеленая парабола:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x_0\geqslant 3\\ f(3)\geqslant 0 \\ \end{array} \right.$

Но я еще забыл пару случаев рассмотреть, похоже:

4) Серая

$\left\{ \begin{array}{rcl} -3\leqslant x_0\leqslant -1\\ f(-3)\geqslant 0\\ f(-1)\geqslant 0\\ \end{array} \right.$

5) Розовая

$\left\{ \begin{array}{rcl} 1\leqslant x_0\leqslant 3\\ f(1)\geqslant 0\\ f(3)\geqslant 0\\ \end{array} \right.$

Причем во всех случаях вершина параболы может лежать как выше оси абсцисс, так и ниже, может лежать и на оси абсцисс. Но я понимаю, что это здесь не важно, но на всех рисунках у меня она выши оси абсцисс. Стоит ли рисовать дополнительные картинки, где она будет ниже оси?

Правильно ли выписаны условия? Есть ли способ сделать это проще?

[provincialka]

А зачем вы используете функцию $f$, если уже ввели $g$? Положение вершины параболы, если она не лежит в заданном множестве, не существенно...
Что касается краткости -- ну, можно объединить несколько случаев. Например, потребовать, чтобы $g(-3)\ge 0, g(-1)\ge 0,g(1)\ge 0,g(3)\ge 0$ и добавить условия на вершину, если она лежит в множестве.

[Munin]

mr.tumkan2015 в сообщении #1062483 писал(а):

Сиреневая (или фиолетовая это называется?)

А зачем вы рисуете цветами, которые не знаете, как называются? :-)

[mr.tumkan2015]

provincialka в сообщении #1062497 писал(а):

А зачем вы используете функцию $f$, если уже ввели $g$? Положение вершины параболы, если она не лежит в заданном множестве, не существенно...
Что касается краткости -- ну, можно объединить несколько случаев. Например, потребовать, чтобы $g(-3)\ge 0, g(-1)\ge 0,g(1)\ge 0,g(3)\ge 0$ и добавить условия на вершину, если она лежит в множестве.

Спасибо! А дополнительное условие для точек на множестве -- это то, что ордината вершины параболы неотрицательна?

[Brukvalub]

Да.

[provincialka]

Похоже, условие на вершину параболы практически излишне. Там в решении неравенств есть небольшой подвох... Есть возможность потерять решение.

[mr.tumkan2015]

А в чем подвох? Что-то не получается разобраться

[provincialka]

Ну! Сами найдите... Впрочем, может для вас это и не подвох, вы сразу все решения выпишете. А вот скажите, какой у вас получился ответ?

[mihailm]

Я люблю на плоскости $(a,x)$. Рисуем картинку:

а потом выписываем ответ.

[provincialka]

mihailm
О! Здорово! Что-то такое крутилось в голове (точнее, идея перейти от $x$ к $a$). Отличная у вас идея!