Доказать неравенство

[iou]

Доказать неравенство

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}, n\in\mathhb{N}$$

Мои идеи:
По методу мат. индукции

$$n=1 \Rightarrow \frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$n=k+1 \Rightarrow \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{2k+1}{2k+2} < \frac{1}{\sqrt{2k+3}}$$

Что делать дальше? Я не вижу какой-то идеи, на которую можно опереться и что-то придумать с этим произведением.
Заранее благодарен!

[Brukvalub]

Что-то в ваших рассуждениях не видно, как вы в шаге индукции пытаетесь использовать предположение индукции.

[iou]

Brukvalub в сообщении #1061858 писал(а):

Что-то в ваших рассуждениях не видно, как вы в шаге индукции пытаетесь использовать предположение индукции.

Я не понимаю, как связать шаг и предположение индукции. В доказательстве того же неравенства Бернулли нужно просто домножить, и немного поработать со скобками, чтобы связать шаг и предположение индукции, а тут я не понимаю, что нужно сделать.

[2old]

iou
Напишите как это называется? в общем предположение индукции для $n=k явно$

[Dan B-Yallay]

iou в сообщении #1061855 писал(а):

$$n=k+1 \Rightarrow \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{2k+1}{2k+2} < \frac{1}{\sqrt{2k+3}}$$

Что делать дальше

$$ \begin{align*}\Big(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot \frac{2k-1}{2k}\Big)\cdot \Big(\frac{2k+1}{2k+2}\Big)\quad &< \quad \Big(\frac{1}{\sqrt{2k+1}}\Big)\Big(\cdot \frac{2k+1}{2k+2}\Big)\quad =\quad \frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}\end{align*}$$

Сравните последнее с

$$\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$$

[Shadow]

$\dfrac 1 2 \cdot \dfrac 2 3 \cdot \dfrac 3 4 \cdot \dfrac 4 5 \cdots \dfrac{2n-1}{2n}\cdot \dfrac{2n}{2n+1}=\dfrac{1}{2n+1}$

[iou]

Shadow в сообщении #1061915 писал(а):

$\dfrac 1 2 \cdot \dfrac 2 3 \cdot \dfrac 3 4 \cdot \dfrac 4 5 \cdots \dfrac{2n-1}{2n}\cdot \dfrac{2n}{2n+1}=\dfrac{1}{2n+1}$

Но это же не телескопическое произведение, тут $\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{2n-1}{2n}$.

-- 13.10.2015, 20:51 --

Dan B-Yallay в сообщении #1061865 писал(а):

iou в сообщении #1061855 писал(а):

$$n=k+1 \Rightarrow \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{2k+1}{2k+2} < \frac{1}{\sqrt{2k+3}}$$

Что делать дальше

$$ \begin{align*}\Big(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot \frac{2k-1}{2k}\Big)\cdot \Big(\frac{2k+1}{2k+2}\Big)\quad &< \quad \Big(\frac{1}{\sqrt{2k+1}}\Big)\Big(\cdot \frac{2k+1}{2k+2}\Big)\quad =\quad \frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}\end{align*}$$

Сравните последнее с

$$\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$$

Да, если сравнить эти выражения, то получится, что $\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$ больше, из чего следует, что неравенство доказано, но:
объясните мне, пожалуйста, такой момент. В Вашем рассуждении Вы использовали неравенство, которое нам нужно доказать, так можно делать?

[Brukvalub]

iou в сообщении #1062171 писал(а):

В Вашем рассуждении Вы использовали неравенство, которое нам нужно доказать, так можно делать?

Встречный вопрос: вы пытаетесь использовать метод матем. индукции, не понимая его основного принципа, так можно делать?

[iou]

Brukvalub в сообщении #1062175 писал(а):

iou в сообщении #1062171 писал(а):

В Вашем рассуждении Вы использовали неравенство, которое нам нужно доказать, так можно делать?

Встречный вопрос: вы пытаетесь использовать метод матем. индукции, не понимая его основного принципа, так можно делать?

Да, каюсь. Именно поэтому и задаю этот вопрос.

[Anton_Peplov]

iou
Метод матиндукции заключается в следующем.
1) Доказать, что утверждение верно для $n = 1$.
2) Доказать, что если утверждение верно для $n = k$, то оно верно и для $n = k+1$.
3) Выслушать аплодисменты.

[Dan B-Yallay]

iou в сообщении #1062177 писал(а):

Да, каюсь. Именно поэтому и задаю этот вопрос.

Тогда почитайте о матиндукции и затем все вопросы отпадут.

[iou]

Разобрался.
Всем спасибо!

[Shadow]

iou в сообщении #1062171 писал(а):

Shadow в сообщении #1061915

писал(а):
$\dfrac 1 2 \cdot \dfrac 2 3 \cdot \dfrac 3 4 \cdot \dfrac 4 5 \cdots \dfrac{2n-1}{2n}\cdot \dfrac{2n}{2n+1}=\dfrac{1}{2n+1}$
Но это же не телескопическое произведение, тут $\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{2n-1}{2n}$.

Мда, там на то, там ровно половина множителей, чем у меня . Я просто хотел написать, что еще и

$\dfrac 2 3 \cdot \dfrac 4 5\cdots\dfrac{2n}{2n+1}>\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}$, но это на потом. Главное, что с методом мат. индукцией разобрались.