Параметрическое уравнение прямой в L3 -> общее уравнение

[Atom001]

Здравствуйте!
Столкнулся с тем, что не знаю как выполнить преобразование параметрического уравнения прямой в пространстве в общее уравнение прямой.
Для плоскости всё просто: параметрическое в каноническое, а затем каноническое в общее (просто решить пропорцию крест-на-крест).
А вот для пространства никак не могу сообразить, что сделать, чтобы достичь цели.
Подскажите, пожалуйста.

[Brukvalub]

Atom001 в сообщении #1062107 писал(а):

общее уравнение прямой.

А что это такое?

[Atom001]

Brukvalub в сообщении #1062114 писал(а):

А что это такое?

Я всегда считал, что вот это $Ax+By+Cz+D=0$. Не? Не так?

[Brukvalub]

Atom001 в сообщении #1062116 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1062114 писал(а):

А что это такое?

Я всегда считал, что вот это $Ax+By+Cz+D=0$. Не? Не так?

Чем тогда уравнение прямой в пространстве отличается от уравнения плоскости?

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #1062116 писал(а):

Я всегда считал, что вот это $Ax+By+Cz+D=0$. Не? Не так?

Это уравнение плоскости.

[Atom001]

Brukvalub в сообщении #1062119 писал(а):

Чем тогда уравнение прямой в пространстве отличается от уравнения плоскости?

Действительно! Это как раз было уравнение плоскости, а уравнение прямой - есть система уравнений двух плоскостей.

Pphantom в сообщении #1062120 писал(а):

Это уравнение плоскости.

Я уже осознал свою ошибку.

Тогда давайте я оглашу своё задание.

Цитата:

Найти проекцию точки $A(3;-2;1)$ на прямую $\left\{ \begin{array}{lcl} x=t-2 \\ y=5 \\ z=t+2 \\ \end{array} \right.$

1) Найду каноническое уравнение прямой.
$\frac{x+2}{1}=\frac{y-5}{0}=\frac{z-2}{1}$

2) Тогда вектор, направляющий прямую есть $\vec{S}=\{1;0;1\}$

3) Значит, прямая, которая перпендикулярная к исходной прямой и проходит через точку $A$ будет иметь уравнение
$x+z-4=0$

4) Теперь, вроде как, надо найти точку пересечения найденной прямой с исходной. Это и будет моя проекция.
Тогда верно ли, что

$$\left\{ \begin{array}{lcl} x=t-2\\ y=5 \\ z=t+2 \\ x+z-4=0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} x-z+4=0 \\ y=5 \\ x+z-4=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} x=0 \\ y=5 \\ z=4 \\ \end{array} \right.$$

5) Тогда проекция имеет координаты $(0;5;4)$?

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #1062126 писал(а):

3) Значит, прямая, которая перпендикулярная к исходной прямой и проходит через точку $A$ будет иметь уравнение
$x+z-4=0$

Как Вы думаете, это вообще возможно? Чтобы получить прямую в трехмерном пространстве, надо наложить на координаты две связи, каждая одна понижает размерность на единицу. Соответственно, никакое выражение с одним знаком равенства уравнением прямой в трехмерном пространстве быть не может.

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1062129 писал(а):

Соответственно, никакое выражение с одним знаком равенства уравнением прямой в трехмерном пространстве быть не может.

Опять на одни и те же грабли...
Я пожалуй пойду внимательно прочту теорию и потом отпишусь.

[mihailm]

По алгоритму и ответу все верно. По пониманию применяемых действий определенные проблемы)

[redicka]

Во-первых, уравнение $x+z-4=0$ не уравнение прямой!
Во-вторых, задача решается проще. Записав скалярное произведение векторов $(L(t)-A)S=0$ и найдя $t0$, сразу
найдем искомую проекцию - это $L(t0)$.

[Atom001]

Предлагаю новое решение.

1) Каноническое уравнение данной (далее $L_1$) прямой уже найдено: $\frac{x+2}{1}=\frac{y-5}{0}=\frac{z-2}{1}$

2) Найду на этой прямой две точки. Для этого в параметрическом уравнении буду подставлять различные $t$.
Например, точки $(-2;5;2)$ и $(-1;5;3)$ принадлежат $L_1$.

3) Теперь составлю уравнение плоскости, проходящей через найденные две точки и данную точку $A$.
$\begin{vmatrix} x+2 & y-5 & z-2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 5 & -7 & -1 \end{vmatrix}=0 \Rightarrow 7x+6y-7z-2=0$

4) Из канонического уравнения $L_$1 легко найти $\vec{S_1}$ - вектор, направляющий $ L_1$.
$\vec{S_1}=\{1;0;1\}$

А из найденного уравнения плоскости легко найти вектор нормали к этой плоскости. $\vec{S_2}=\{7;6;-7\}$

5) $[\vec{S_1}, \vec{S_2}]$ - вектор, направляющий прямую ($L_2$), перпендикулярную $L_1$.
$[\vec{S_1}, \vec{S_2}]=\{-6;14;6\}$. Тогда $\vec{S_3}=\{-3;7;3\}$

6) Тогда уравнение $L_2$, перпендикулярной $L_1$ и проходящей через точку $A$, запишется так
$\frac{x-3}{-3}=\frac{y+2}{7}=\frac{z-1}{3}$

7) Осталось найти точку пересечения $L_1$ и $L_2$.
Вот только у меня идей, как это сделать, нет.

[provincialka]

Atom001
Еще пара плоскостей и десяток прямых -- и задача будет решена!

Не надо ничего этого, не надо даже канонического уравнения прямой. Лучший совет вам дал(а) redicka. Ищите основание проекции как точку на прямой (то есть ищите $t$)

[Atom001]

provincialka в сообщении #1063725 писал(а):

Еще пара плоскостей и десяток прямых -- и задача будет решена!

provincialka в сообщении #1063725 писал(а):

Не надо ничего этого, не надо даже канонического уравнения прямой. Лучший совет вам дал(а) redicka. Ищите основание проекции как точку на прямой (то есть ищите $t$)

Насколько я понимаю, redicka даёт решение силами векторного исчисления, а мне надо всё-таки использовать методы аналитической геометрии.

И ещё. provincialka, не могли бы Вы написать то, что написал(а) redicka, но только понятным языком.
Например,

redicka в сообщении #1062279 писал(а):

Записав скалярное произведение векторов $(L(t)-A)S=0$

$S$ - это "вектор по прямой"? $(L(t)-A)$ - это тоже вектор? Что такое $A$?

[provincialka]

Atom001 в сообщении #1063728 писал(а):

решение силами векторного исчисления, а мне надо всё-таки использовать методы аналитической геометрии.

Ой! А что, они противопоставлены друг другу (кажется, вы сами выше записала уравнение плоскости через смешанное произведение)

Atom001 в сообщении #1063728 писал(а):

не могли бы Вы написать то, что написал(а) redicka, но только понятным языком.

Так вроде не полагается "по закону"
Давайте все-таки вы сами. Вот что вам нужно найти? Проекцию точки на прямую. Что означают эти слова? что
1) искомая точка M лежит на прямой, то есть может быть выражена через $t$, $M(t)=(x(t); y(t); z(t))$ -- уравнения возьмите из задания.
2) Вектор $\vec{AM}$ ортогонален прямой. То есть ортогонален ее направляющему вектору (который вы уже нашли).

-- 17.10.2015, 18:53 --

Atom001 в сообщении #1063728 писал(а):

Что такое $A$?

То, что задано в задаче!

-- 17.10.2015, 18:55 --

Я вместо $L$ написала $M$ по привычке... А, кстати, что такое у вас $L_3$ в заголовке темы?

[Atom001]

provincialka в сообщении #1063729 писал(а):

Ой! А что, они противопоставлены друг другу (кажется, вы сами выше записала уравнение плоскости через смешанное произведение)

Ну, хорошо. Убедили!

provincialka в сообщении #1063729 писал(а):

Давайте все-таки вы сами.

1) $M(t_0-2;5;t_0+2)$

2) $(\{1;0;1\},\{t_0-2-3; 5+2; t_0+2-1\})=0 \Leftrightarrow (\{1;0;1\},\{t_0-5; 7; t_0+1\})=0$

3) Тогда $t_0=2$

4) $M(0;5;4)$

Действительно, это решение намного проще.

provincialka в сообщении #1063729 писал(а):

А, кстати, что такое у вас $L_3$ в заголовке темы?

Как?! Вы не знаете?! ( )
Просто наш математик сказал, что в математике для обозначения измерений используется запись $L_n$, где $n$ - мерность пространства. Таким образом $L_3$ - трёхмерное пространство.

Всем спасибо за помощь!