Продолжение линейного функционала на бесконечномерном простр

[oniksofers]

Столкнулся со следующим утверждением: Пусть $E$ $-$ линейное пространство, бесконечной размерности, тогда для любого подпространства $F\subset E$ существует отличный от нуля линейный функционал на $E$, равный нулю на $F$. Я пытался доказать это следующим образом: Пускай $N_{1}$ является линейным базисом в подпространстве $F$, тогда определим линейный функционал $\varphi:E \to E$ таким образом, чтобы $\operatorname{Ker}\varphi=F$, теперь же, пользуясь утверждением о том, что любая линейно-независимая система в $E$ может быть дополнена до базиса в $E$, дополним $N_{1}$ до базиса в $E$. В итоге мы получили линейный функционал $\varphi$, который равен нулю на $F$, и(как мне кажется) не равен нулю на $E$
Мне видется, что в этом рассуждение имеются логические дыры, а то оно вообще в корне неверно, прошу помощи, дабы разобраться.

[demolishka]

Сначала стоит все-таки дополнить $N_1$ до базиса, а потом указать, чему равен функционал на векторах из $N_1$ и его дополнения до полной системы.

[oniksofers]

demolishka в сообщении #1061534 писал(а):

Сначала стоит все-таки дополнить $N_1$ до базиса, а потом указать, чему равен функционал на векторах из $N_1$ и его дополнения до полной системы.

То есть я дополняю $N_{1}$ до базиса в $E$, потом говорю, что $\operatorname{Ker}\varphi=F$, тем самым определяя, где функционал нуль, а где нет, я вас правильно понял?

[demolishka]

Линейный функционал определяется своими значениями на векторах базиса. Ну так определите функционал на каждом из базисных векторов пространства $E$, чтобы он удовлетворял нужным Вам условиям.

[мат-ламер]

demolishka в сообщении #1061584 писал(а):

Ну так определите функционал на каждом из базисных векторов пространства $E$, чтобы он удовлетворял нужным Вам условиям.

Достаточно взять один базисны вектор, на котором значение функционала ненулевое.

[Brukvalub]

oniksofers в сообщении #1061485 писал(а):

Пусть $E$ $-$ линейное пространство, бесконечной размерности, тогда для любого подпространства $F\subset E$ существует отличный от нуля линейный функционал на $E$, равный нулю на $F$.

Здесь пропущено слово "собственного" (подпространства).
Проще сначала взять вектор из дополнения к подпространству и доопределить функционал на одномерном подпространстве, натянутом на этот вектор так, чтобы доопределенный функционал стал ненулевым, после чего воспользоваться Ханом-Банахом.

[oniksofers]

Brukvalub в сообщении #1061827 писал(а):

oniksofers в сообщении #1061485 писал(а):

Пусть $E$ $-$ линейное пространство, бесконечной размерности, тогда для любого подпространства $F\subset E$ существует отличный от нуля линейный функционал на $E$, равный нулю на $F$.

Здесь пропущено слово "собственного" (подпространства).
Проще сначала взять вектор из дополнения к подпространству и доопределить функционал на одномерном подпространстве, натянутом на этот вектор так, чтобы доопределенный функционал стал ненулевым, после чего воспользоваться Ханом-Банахом.

Да, собственное пропустил, каюсь.
А чем это отличается от определения действия функционала $\varphi$ на базисных векторах? Не хотелось бы использовать Хана-Банаха.

[demolishka]

По теореме Хана-Банаха обязательно получится непрерывный функционал. В силу того, что непрерывность функционала равносильна замкнутости ядра, а в условии задачи пространство $F$ не обязательно замкнутое, то получится функционал, который в ноль обращается не только на $F$, но и где-то еще. А через базисные векторы можно определить разрывный функционал, у которого ядро в точности $F$. Но разрывные функционалы мало где используются, кроме того случая, где надо упомянуть об их существовании. Тем более непрерывные функционалы неудобно задавать значениями на базисных векторах.

[oniksofers]

demolishka в сообщении #1062682 писал(а):

По теореме Хана-Банаха обязательно получится непрерывный функционал. В силу того, что непрерывность функционала равносильна замкнутости ядра, а в условии задачи пространство $F$ не обязательно замкнутое, то получится функционал, который в ноль обращается не только на $F$, но и где-то еще. А через базисные векторы можно определить разрывный функционал, у которого ядро в точности $F$. Но разрывные функционалы мало где используются, кроме того случая, где надо упомянуть об их существовании. Тем более непрерывные функционалы неудобно задавать значениями на базисных векторах.

Огромное спасибо за пояснение!

[demolishka]

Только вот в задаче на пространстве $E$ не задано нормы. Поэтому о непрерывности говорить нет смысла. Так что пусть уважаемый Brukvalub пояснит нам, что он имел в виду.

[Brukvalub]

Ну, во-первых, в теореме Хана-Банаха наличие нормы не обязательно, достаточно мажоранты в виде положительно однородного субаддитивного функционала. Во-вторых, пожалуй, я немного погорячился, поскольку, похоже, доказать, что функционал-мажоранта существует ничуть не проще, чем непосредственно доказать наличие требуемого в условии функционала.