Минимальное расстояние между точками

[lred]

В задачнике Балаша есть такая задача:

Цитата:

Два автомобиля идут равномерно с одинаковыми по модулю скоростями, по двум прямым дорогам, пересекающимся под углом $\alpha$. На какое минимальное расстояние сближаются автомобили при движении, если в начале они находились на расстояниях $ l_1$ и $l_2$ от перекрестка дорог.

Попытка принять одну дорогу, как систему отсчета, приняв дорогу 1, как ось $OX$. И т.к. кратчайшее расстояние будет перпендикуляром от $OX$, проведенному к второй дороге. То $x_2$ второй машины, спроецированный на ось $ OX$ и $x_1$ первой машины будут равны. Выразив оттуда $ t$, и, найдя катет прямоугольного треугольника, я получил ответ:
$\frac{l_2-l_1}{1-\cos\alpha}\sqrt{\frac{1-\cos2\alpha}{2}}$

Но в ответах стоит:
$(l_1-l_2)\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$

Может, я чего-то не понимаю. Помогите пожалуйста разобраться с задачей.

Pphantom:

Название темы изменено на более содержательное.

[Ms-dos4]

lred
Что бы понять ваши обозначения, приведите ваш рисунок. Я же для интереса могу предложить другой метод решения. Пусть $\[{l_1} \ge {l_2}\]$. В изначальном положении расстояние между машинами находится по теореме косинусов $\[{D^2} = l_1^2 + l_2^2 \pm 2{l_1}{l_2}\cos \alpha \]$ (задача сформулирована немного неудачно, так как не указано взаимное расположение машин - знак перед косинусом отвечает тому, как изначально расположены машины - по одну сторону острого угла $\[\alpha \]$ это знак $\[ - \]$, по разные знак $\[ + \]$, ответу отвечает выбор знака $\[ + \]$). Через некоторое время расстояния до перекрёстка у первой машины и второй станут $\[x = {l_1} - vt\]$ и $\[y = {l_2} - vt\]$. Тогда $\[x - y = {l_1} - {l_2}\]$. Получаем классическую задачу на минимизацию выражения $\[{D^2} = {x^2} + {y^2} \pm 2xy\cos \alpha \]$ со связью $\[\varphi = x - y + {l_2} - {l_1}=0\]$. Решая например методом множителей Лагранжа получите $\[\min D = ({l_1} - {l_2})\sqrt {\frac{{1 \mp \cos \alpha }}{2}} \]$

[lred]

Ms-dos4
Прочитав ваш ответ, я понял, что мое предположение о том, что перпендикуляр к любой из дорог будет являться кратчайшим расстоянием в корне не верно. Спасибо за столь подробный ответ, постараюсь понять его.

[rustot]

Запишите координаты $x_i(t),y_i(t)$ двух машин как функцию от времени. Как найти расстояние между двумя точками по их координатам вы знаете (теорема пифагора если что)? Вот и найдите расстояние между ними как функцию от времени, а потом минимум этой функции

[Sicker]

lred
Тут достаточно перейти в систему координат одного из автомобилей.