Полная несвязность и вторая аксиома отделимости

[Anton_Peplov]

Как известно, пространство называется вполне несвязным, если все его компоненты связности - одноточечные (другими словами, в пространстве связны только пустые и одноточечные множества). Легко видеть, что в таком пространстве выполняется первая аксиома отделимости (она на самом деле равносильна более мягкому требованию, чтобы всякое двухточечное множество было несвязно). А вот обязана ли выполняться во вполне несвязном пространстве вторая аксиома отделимости ("у любых двух различных точек есть непересекающиеся окрестности")?

Интуитивно кажется, что да, но доказать не получается. Требования, чтобы любое двухточечное (и тем самым любое конечное) множество было несвязно, тут недостаточно, ибо оно равносильно первой аксиоме отделимости, а не второй (легко построить пространство с первой, но не второй аксиомой отделимости - правда, известный мне пример не является вполне несвязным). Как использовать именно требование, что любое (а не только конечное) более чем одноточечное множество несвязно - не знаю.

С другой стороны, и опровергнуть не получается. Примеров вполне несвязных множеств мне вообще известно всего ничего: дискретное пространство, канторово пространство и $\mathbb{Q}$. В первом вторая аксиома отделимости выполнена по построению, остальные два имеют топологию, индуцированную канонической топологией $\mathbb{R}$, и наследуют из нее вторую аксиому отделимости. Кое-что пытался построить сам, но вторая аксиома отделимости там все равно получалась. Ясно только, что в контрпримере, если он есть, пространство-носитель бесконечно, ибо легко показать, что конечное вполне несвязное пространство дискретно.

Подскажите, что ли, что-нибудь.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1061165 писал(а):

Подскажите, что ли, что-нибудь.

Стандартный в этом случае пример будет какой-то такой:
Возьмём пространство состоящее из множества натуральных чисел $\mathbb N$, а также двух "особых" точек, скажем, $-\infty $ и $+\infty $. Открытыми множествами назовём:
(а) любые подмножества натуральных чисел,
и, кроме этого,
(б) множества, содержащие одну или две особые точки плюс дополнение к конечному подмножеству из $\mathbb N$.

За Вами -- разобраться с этим примером.

[Anton_Peplov]

А чего тут разбираться. Это пространство $X$ вполне несвязно, т.к. каждое более чем одноточечное подпространство $A$ разбивается на два непересекающихся открытых в нем множества. Именно:
1) если в $A$ есть хотя бы одно натуральное $n$, то получаем разбиение $A$ на открытые $\{n\}$ и $A \verb \ \{n\}$ ($A \verb \ \{n\}$ открыто в $A$, потому что является пересечением $A$ с открытым $X \verb \ \{n\}$ ).
2) двухточечное множество $A = \{-\infty, \infty\}$ разбивается на два открытых в нем множества $\{-\infty\}$ и $\{\infty\}$. Действительно, первое можно представить, например, как $A \cap (-\infty \cup \mathbb{N} \verb \ \{1\})$, второе, соответственно, как $A \cap (\infty \cup \mathbb{N} \verb \ \{1\})$.

Тем не менее, точки $-\infty$ и $\infty$ не имеют непересекающихся окрестностей.

Разобраться в этом примере легко. Вот додуматься до него у меня вряд ли получилось бы. Спасибо, grizzly!

P.S. Построен пример вполне несвязного пространства, в котором вторая аксиома отделимости нарушается для двух (и только для двух) точек. Наверное, можно построить и такой, где она нарушается в бесконечном числе точек. А вот интересно, есть ли два "естественных" предиката - предикат от множества $P(X)$ и предикат от точки $p(x)$ - такие, что если $X$ бесконечно и верно $P(X)$, то $p(x)$ может быть неверно для каких-то точек $x \in X$, но лишь для конечного их числа? Под "естественностью" предиката я понимаю, что предикат широко известен в математике (скажем, в топологии такими предикатами будут "выполняется $n$-ная аксиома отделимости/счетности", "пространство связно", "пространство сепарабельно" и т.д.), а не изобретается конкретно под эту задачу. Никогда с таким не сталкивался. Всегда, если свойство не выполняется хоть в одной точке, можно найти и пространство, на котором оно не выполняется в бесконечном (хотя, быть может, счетном или меры нуль) числе точек. За этим кроется какая-то глубокая и трудно формализуемая истина, до которой интересно было бы докопаться.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1061374 писал(а):

А чего тут разбираться.
...
Вот додуматься до него у меня вряд ли получилось бы.

(Про "разбираться" -- это так, фигура речи, чтоб не выглядело полным решением учебной задачи в ПРР :)
Вам, наверное, знакома книга "Контрпримеры в анализе"? Есть подобного рода про топологию. Мне нравится, как там всё структурировано и объяснено. Посмотрите, не пожалеете (я находил как-то в сети): Lynn A. Steen, J. Seebach "Counterexamples in Topology". Вот для примера, как там выглядит ответ на Ваш вопрос -- циферками обозначены номера (контр)примеров. Там и английского особого не нужно для понимания.

[Anton_Peplov]

grizzly в сообщении #1061413 писал(а):

Вам, наверное, знакома книга "Контрпримеры в анализе"?

Да. Драгоценная книга.

grizzly в сообщении #1061413 писал(а):

Lynn A. Steen, J. Seebach "Counterexamples in Topology"

Спасибо!

grizzly в сообщении #1061413 писал(а):

Вот для примера, как там выглядит ответ на Ваш вопрос -- циферками обозначены номера (контр)примеров.

Только вчера рисовал подобную схему! Но поленился дорисовывать:)