Нелинейные уравнения

[Atomsk]

Дано нелинейное уравнение $f(C)=0$, где $f(C)$ - задана численно.
Решаем уравнение методом секущих :
$C_{n+1}=C_n-\frac{f(C_n)(C_n-C_{n-1})}{f(C_n)-f(C_{n-1})}$
Для начала процесса требуется задать две точки $C_0$ и $C_1$.По ним мы найдем точку $C_2$...
Вопрос: Какие из этих трех точек нужно брать для вычисления следующей? И как производить выбор на каждой следующей итерации?

включены BBCode и добавлены $$ // нг

[GAA]

Формально, отбрасывается одна из старых точек, таким образом, чтобы в оставшихся точках функция принимала разные знаки – это как бы очевидно.

Только мне кажется, метод хорошо работает для выпуклых функций. В этом случае движется только одна граница промежутка, а последовательность приближений является монотонной. См. Гл. IV, §4. Способ пропорциональных частей (метод хорд) в [1].

Ref.
[1] Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М., 1963.

[TOTAL]

Atomsk писал(а):

Дано нелинейное уравнение f(C)=0, где f(C) - задана численно.
Решаем уравнение методом секущих :
C_{n+1}=C_n-\frac{f(C_n)(C_n-C_{n-1})}{f(C_n)-f(C_{n-1})}
Для начала процесса требуется задать две точки C_0 и C_1.По ним мы найдем точку C_2...
Вопрос: Какие из этих трех точек нужно брать для вычисления следующей? И как производить выбор на каждой следующей итерации?

Для вычисления следующей надо брать две предыдущие.
Метод сходится не всегда. Есть ситуации, когда сходимость гарантирована.
Например, если локализован корень (найден отрезок, содержащий этот корень и никаких других) и если ни первая ни вторая производные функции $$f(C)$ не меняют знак на этом отрезке, то метод сходится, если два начальных приближения взяты по ту сторону от корня, где функция $$f(C)$ выпукла к оси.
Метод секущих удобно сравнивать с методом касательных (Ньютона). В методе секущих вместо касательной проводится прямая, "заменяющая" касательную (прямая, проведенная через две точки графика).
Если же, как тут уже посоветовали, выбирать точки для построения секущей из условия, что функция в этих точках имеет разные знаки, то получится метод хорд, сходимость будет всегда, но она будет медленной (медленне, чем в методе секущих).

[GAA]

Виноват, описанный TOTAL вариант, как пишет Калиткин в "Численных методах", вернее назвать методом секущих. Хотя в книге [2] метод хорд называют методом секущих и даже приводится пояснение такому названию .

Если исходить из правильного метода, так как его описал TOTAL, то, следует выбрать точку $C_1$ ближе к корню, чем точку $C_0$. Тогда, при выполнении описанных TOTAL условий сходимости, кажется будем иметь монотонную сходимость к корню: на очередной итерации отбрасываем точку с самым малым значением индекса.

Ref.
[2] Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. II – M., 1962.

[Atomsk]

В моей задаче функция задана численно, поэтому ни о выпуклости, ни о производной ничего сказать нельзя и (как сказал преподователь) просто так брать 2 предыдущие точки неправильно, их нужно каким то способом выбирать...
(или я неправильно понял )

[TOTAL]

Atomsk писал(а):

В моей задаче функция задана численно, поэтому ни о выпуклости, ни о производной ничего сказать нельзя и (как сказал преподователь) просто так брать 2 предыдущие точки неправильно, их нужно каким то способом выбирать...
(или я неправильно понял )

Если функция задана численно, т.е. если можно получить ее значение в любой точке, а больше о ней ничего не известно, то невозможно даже сказать, есть ли корни, сколько их и т.д. Короче, разбирайтесь с преподавателем.