Неравенство в теории вероятности

[time4math]

$t^{2}$$\int\limits_{-r}^{r}$x^{2}dF(x)$ \leqslant 3\left\lvert 1-f(t) \right\rvert$, при $\left\lvert t \right\rvert \leqslant r$, где $f(t)$ - характеристическая функция, $F(x)$ - функция распределения. Есть какие нибудь идеи по доказательству?

[ShMaxG]

time4math
Наверное имелось ввиду $|t| \le 1/r$. Чтобы доказать неравенство, воспользуйтесь неравенством

$$|1-f(t)|\ge\mathrm{Re}(1-f(t))$$

и неравенством

$$\cos{x} \le 1 - x^2/3, \ |x| \le 1.$$

[time4math]

ShMaxG в сообщении #1061428 писал(а):

time4math
Наверное имелось ввиду $|t| \le 1/r$. Чтобы доказать неравенство, воспользуйтесь неравенством

$$|1-f(t)|\ge\mathrm{Re}(1-f(t))$$

и неравенством

$$\cos{x} \le 1 - x^2/3, \ |x| \le 1.$$

Не совсем понятно, как с помощью этих неравенств доказать исходное неравенство? Если использовать первое неравенство, то получается надо доказать более сильное неравенство, что может быть и неверно.

[ShMaxG]

time4math в сообщении #1061451 писал(а):

Если использовать первое неравенство, то получается надо доказать более сильное неравенство, что может быть и неверно.

В данном случае это "более сильное неравенство" доказывается сравнительно просто, если принять во внимание мое второе неравенство.

[sergei1961]

Действительная часть не больше модуля, это ведь очевидно. Как отсюда доказать-тоже не вижу.

[ShMaxG]

sergei1961
Надо просто вспомнить определение характеристической функции, это даст косинус, а потом как по маслу

[time4math]

ShMaxG в сообщении #1061455 писал(а):

sergei1961
Надо просто вспомнить определение характеристической функции, это даст косинус, а потом как по маслу

Косинус то появится и в месте с ним математическое ожидание, все же могли ли бы вы хоть как оформить свою идею?

[ShMaxG]

$$\left| {1 - f\left( t \right)} \right| \ge {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {1 - f\left( t \right)} \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {1 - \cos xt} \right)dF\left( x \right)} \ge \int\limits_{ - r}^r {\left( {1 - \cos xt} \right)dF\left( x \right)} \ge \int\limits_{ - r}^r {\frac{{{x^2}{t^2}}}{3}dF\left( x \right)} $$

time4math
Теперь вам все понятно? Задачка, конечно, не простая, хотя все важные шаги на пути ее решения я подсказал. Не так уж и много от вас требовалось...

[sergei1961]

Спасибо. Само неравенство довольно грубое, как и все неравенства такого типа, основанные на грубых тригонометрических оценках.