Диаметр последовательности простых чисел

[Begemot82]

Просчитано до $10^{10}$. В таблицу вставил пропущенные данные для $k=1000$
n - граница диапазона $10^{n}$, далее $ Gap_k, k=2, 3, 4, 10, 100, 1000, 10000$

n    2   3   4    10  100  1000  10000 
 6 : 114 138 152  300 1762 14388 139218
 7 : 154 200 220  402 2034 16992 163094
 8 : 220 248 300  488 2508 19880 186724
 9 : 282 336 408  684 2858 22806 212040
10: 354 436 516  720 3390 25674 235722

[grizzly]

С большими Gap'ами дальше будет легко предсказуемая тенденция: во сколько раз увеличился индекс для Gap, во столько же раз увеличился сам Gap. Но это только из-за того, что мы смотрим на них очень близко около 0. И никогда не сможем посмотреть сколько-нибудь значимые интервалы.

Я просто для примера сошлюсь на то, что известно по минимальным Gap (собственно, по кортежам а ля близнецам):

Цитата:

$k=20, s=80,$
$B=\{0, 2, 6, 8, 12, 20, 26, 30, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 62, 66, 68, 72, 78, 80\}$
The smallest known example of this pattern is $14374153072440029138813893241 + d$,
$d = 0, 2, 6, 8, 12, 20, 26, 30, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 62, 66, 68, 72, 78, 80$
(29 digits, October 6, 2014, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)

Здесь $k$ -- размер кортежа, $s$ -- диаметр, $d$ -- вектор паттерна. Вообще, это может быть полезно для интуиции, посмотреть, как распределяются все эти близняшки. Каждый шаблон встречается довольно редко.

[Begemot82]

grizzly в сообщении #1061151 писал(а):

С большими Gap'ами дальше будет легко предсказуемая тенденция: во сколько раз увеличился индекс для Gap, во столько же раз увеличился сам Gap.

Когда отходим дальше от $0$, то отношение падает. Так $Gap_{10000}(10^{9}) / Gap_{1000}(10^{9}) = 9,297553275$. Им надо стремиться к Gap_{2} . Будут особенности, но похоже их уже трудно выявлять.

 n  100      1000                  1000
  6 5,873333333   8,165720772   9,675979983
  7 5,059701493   8,353982301   9,598281544
  8 5,139344262   7,926634769   9,442857143
  9 4,178362573   7,979706088   9,297553275
10 4,708333333   7,573451327   9,181350783

grizzly в сообщении #1061151 писал(а):

Я просто для примера сошлюсь на то, что известно по минимальным Gap (собственно, по кортежам а ля близнецам):

Не уловлю, на что надо обратить внимание, на Gap-ы или первые значения простых?

[Dmitriy40]

Не, минимальные диаметры не интересны, они мало того что все известны (или нетрудно построить), так ещё и образуются совершенно другими условиями (допустимостью вычетов). Даже зависимость минимального диаметра от количества членов в последовательности тоже малоинтересна (подозреваю можно даже точную формулу вывести если взять список первых простых как известную константу).

[Begemot82]

Dmitriy40 в сообщении #1061177 писал(а):

подозреваю можно даже точную формулу вывести

$f(k) \sim k \cdot \ln (k) $

[Dmitriy40]

Begemot82 в сообщении #1061214 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1061177 писал(а):

подозреваю можно даже точную формулу вывести

$f(k) \sim k \cdot \ln (k) $

Слишком грубо и слишком не совпадает. Проверьте хоть сами для $k=2..50$. Так будет разве что в пределе $k \to \infty$ ...

[Begemot82]

Dmitriy40 в сообщении #1061223 писал(а):

Слишком грубо и слишком не совпадает.

Возможно не "приблизительно", а "растет как"

[grizzly]

Begemot82 в сообщении #1061166 писал(а):

Когда отходим дальше от $0$, то отношение падает. Так $Gap_{10000}(10^{9}) / Gap_{1000}(10^{9}) = 9,297553275$.

Нет, я сказал то, что хотел. Двигаемся слева направо по строке -- отношение растёт.

$Gap_{100}(10^{9}) / Gap_{10}(10^{9}) = 4,17...$
$Gap_{1000}(10^{9}) / Gap_{100}(10^{9}) = 7,97...$
$Gap_{10000}(10^{9}) / Gap_{1000}(10^{9}) = 9,29...$

Ну, собственно, Ваша табличка об этом и говорит. Если двигаться дальше с мультипликативным шагом 10, отношение станет ровно 10. Только это есть эффект усреднения, а выводы относительно Gap2 к этому отношения не имеют.

Begemot82 в сообщении #1061166 писал(а):

Не уловлю, на что надо обратить внимание, на Gap-ы или первые значения простых?

Dmitriy40 в сообщении #1061177 писал(а):

Не, минимальные диаметры не интересны, они мало того что все известны (или нетрудно построить)

Вот-вот и я о том же. Для каких-нибудь 24 чисел шаблон очень простой и короткий, а пример не найден, хотя до 30-значных чисел порылись. А для максимальных диаметров всё и должно быть намного хуже и вполне вероятно, что это самое "намного хуже" заключается как раз в том, что отклонения встречаются на много порядков реже. Моё имхо в том, что эти отклонения есть, они редки и регулярны, но даже до первых из них мы добраться просто не в состоянии. (Я понимаю, что наши интуиции разошлись и что вопрос находится вне пределов проверяемости -- спорить здесь смысла нет, просто высказал своё мнение для полноты картины :)

Begemot82 в сообщении #1061225 писал(а):

Слишком грубо и слишком не совпадает. Проверьте хоть сами для $k=2..50$. Так будет разве что в пределе $k \to \infty$ ...

Формула что надо. Она как раз между первой и второй гипотезами Харди--Литлвуда, так что асимптотически лучше угадать пока невозможно.

[Begemot82]

Достигнута граница $10^{11}$.

n    2   3   4    10  100  1000  10000 
 6 : 114 138 152  300 1762 14388 139218
 7 : 154 200 220  402 2034 16992 163094
 8 : 220 248 300  488 2508 19880 186724
 9 : 282 336 408  684 2858 22806 212040
10: 354 436 516  720 3390 25674 235722
11: 464 524 622  886 3834 28440 261228

Дальше ничего нового не будет, программу остановил.

[Begemot82]

Рекорд интервала между простыми числами

 1476 1425172824437699411 

был найден в 2009 году. Проект по поиску максимального интервала остановился на границе $4 \cdot 10^{18}$ в апреле 2012 года . Негде больше не велись работы по продолжению поиска? У кого есть информация по вопросу?

[Begemot82]

Натолкнулся на статью "Maximal Gaps Between Prime k-Tuples: A Statistical Approach"http://arxiv.org/pdf/1301.2242v3.pdf
Есть интересные графики и таблицы. Пока очень заинтересовали близнецы.

[Begemot82]

Ничего нового не придумывается, поэтому продолжу эксперименты на далеких окраинах.
Возьму интервал в $10^{11}$ и начальные точки $10^{45}$ и $10^{60}$ и посчитаю $Gap_{10^{6}}$

[Begemot82]

Результаты для $Gap_{1000000}$
столбцы - n,Gap2, Gap1000,Gap1000000

 7 154 16992 16683688
 8 220 19880 18506262
 9 282 22806 20737042
10 354 25674 23036504
11 464 28440 25368310
12 540 31596 27688406

[Begemot82]

Закончил расчет для интервала $[10^{45},10^{45}+10^{11}]$
При установления рекордов $M3=r_1 r_2$ отношение $M3/D3^2$ было почти 1/4 для простых $10^{45}+439831 $ и $10^{45}[phone] $
В таблице $M3, r_1, r_2, D3$ и $M3/D3^2$

 356820            626           570          1196              .249452
 1311000          1150          1140          2292              .249559

причем для первого числа $D3=1196$ повторение рекорда

[Begemot82]

Для интервала $[10^{60},10^{60}+10^{11}]$ тоже нашелся рекорд $M3=1272060=r_1 r_2=1146 \cdot 1110$ ( $D3=2262$) при котором соотношение близко к 1/4 . Можно сделать предварительный вывод, что если у соотношения

$$f(x) = \frac{\max\limits_{p_a < x}((p_{a+1}-p_a)(p_a-p_{a-1}))}{(\max\limits_{p_b < x}(p_{b+2}-p_b))^2}$$

есть предел, то он равен $0.25$
P.S. Воспользовался записью формулы из сообщения Dmitriy40, заменив в знаменателе на рекорд диаметра тройки простых чисел, т.к получается нагляднее. И если правильна гипотеза

Begemot82 в сообщении #1044749 писал(а):

Отношение $Gap_k$ к $Gap$ на бесконечности стремится к 1.

то добавляет плюсов к вероятностной модели ( сообщение данной дискуссии)