Высшие симметрии систем уравнений в частных производных

[VanD]

Добрый вечер, помогите пожалуйста прояснить один вопрос:

Пусть на $\mathbb{R}^n$ есть система $m$ уравнений в частных производных $S$ ($m$ зависимых переменных), максимальный порядок входящей в неё производной равен $p$. Пусть ищутся высшие симметрии этой системы, содержащие производные до порядка $k$ включительно. Правильно ли я понимаю, что высшие симметрии по сути тоже могут быть реализованы как локальные группы геометрических преобразований, которые действуют на $J^{p + k}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ (для удобства положим, что локально там зафиксирована стандартная система координат) следующим образом:
1) они катают точки, лежащие на пересечении $S$ со всеми её продолжениями (лежащими в $J^{p + k}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$) по $S$
2) распределение Картана на $J^{p + k}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ отображают в распределение, порождаемое как ядро системы форм, вида $dv - v_{x^i}dx^i $, где вместо $v$ понимаются всевозможные координаты, отвечающие зависимым переменным и их производным, которые входят в систему $S$?

[пианист]

Высшие симметрии не являются группами преобразований никакого конечномерного пространства - мешает теорема Беклунда.
А так все верно.

[VanD]

пианист в сообщении #1059096 писал(а):

Высшие симметрии не являются группами преобразований никакого конечномерного пространства - мешает теорема Беклунда.

Я, собственно, про то и написал, что мне кажется, они могут интерпретироваться как группы преобразований конечномерного пространства, но не сохраняют распределение Картана на нём (теорема Беклунда именно о сохранении распределения Картана, да ещё на всём конечномерном многообразии джетов, поэтому она тут ни при чём). Вместо этого от них требуется лишь не выбрасывать распределение Картана за пределы другого распределения (которое, в частности, содержит и распределение Картана, но и много ещё всего, чем мы и нагло пользуемся). И получается, они действуют как обычные группы преобразований.

В частности, по аналогии с внутренними контактными группами можно рассматривать внутренние высшие симметрии системы, которые можно реализовать вообще как группы преобразований, действующие на исходной системе (но тут система рассматривается как подмногообразие $J^{p + k}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$, причём без её продолжений, а только сама система).

Например:
рассмотрим уравнение Бюргерса $u_{xx} = u_t - {u_{x}}^2$. Будем искать его внутренние высшие симметрии, содержащие в компонентах соответствующей алгебры при $\frac{\partial \ }{\partial u}$ производные вплоть до порядка 2.
Для этого нам нужно многообразие $J^4(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$. Исходное уравнение, как его подмногообразие (без продолжений) $S$ будет 16-мерным.
Внутренние высшие симметрии порядка 2 этого уравнения определяются по своей алгебре: ищем векторные поля на $S$, потоки которых будут для некоторых $\{\rho_{ij}\}$ удовлетворять системе:
$du' - (u_x)'dx' - (u_t)'dt' = \rho_{11}(du - u_xdx - u_tdt) + \rho_{12}(du_x - u_{xx}dx - u_{xt}dt) + \rho_{13}(du_t - u_{xt}dx - u_{tt}dt) + \rho_{14}(du_{xx} - u_{xxx}dx - u_{xxt}dt) + \rho_{15}(du_{xt} - u_{xxt}dx - u_{xtt}dt) + \rho_{16}(du_{tt} - u_{xtt}dx - u_{ttt}dt) + \rho_{17}(du_{xxx} - u_{xxxx}dx - u_{xxxt}dt) + \rho_{18}(du_{xxt} - u_{xxxt}dx - u_{xxtt}dt) + \rho_{19}(du_{xtt} - u_{xxtt}dx - u_{xttt}dt) + \rho_{110}(du_{ttt} - u_{xttt}dx - u_{tttt}dt)$,

аналогично для $du_x' - ((u_{t})' - (u_x)'^2)dx' - (u_{xt})'dt'$ и вообще здесь везде вместо выражений для некоторых производных надо подставить их значение на решениях, например, вместо $u_{xx}$ подставить $u_t - {u_x}^2$ и т.д. выражать из дифференциальных следствий исходного уравнения вплоть до порядка 4.

Группы таких геометрических преобразований не будут, строго говоря, переводить решения в решения (ограничение распределения Картана с $J^4(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$ на $S$ мы сознательно не сохраняем), но они будут решения переводить в двумерные поверхности вида $u = \varphi(x, t), u_x = \psi(x, t)...$ (при условии проектируемости образа на $(x, t)$), где формально $\varphi(x, t)$ - решение исходного уравнения, а большего нам и не надо.

Фактически, мы ввели на множестве двумерных поверхностей, проектируемых на $(x, t)$, отношение эквивалентности: две поверхности эквивалентны, если вдоль них координаты $u, u_x, u_t, u_{xx}$ над каждой точкой плоскости $(x, t)$ принимают одинаковые значения соответственно. Затем, взяли классы эквивалентности, порождаемые решениями исходного уравнения, и хотим, чтобы конкретные представители каждого такого класса попадали в классы эквивалентности, порождённые решениями. То есть мы не сохраняем классы эквивалентности, но следим за конкретными представителями классов, порождённых решениями - следим, чтобы они попадали в классы, порождаемые решениями.

(Оффтоп)

Наверно я плохо излагаю здесь мысли, но в двух словах объяснить не получается, прошу прощения.

[VanD]

Проще о внешних высших симметриях:

пусть у нас есть невырожденная разрешимая система $S$ уравнений в частных производных, в которой максимальный порядок производных равен $p$. Рассмотрим эту систему вместе с её дифференциальными следствиями, содержащими производные до порядка $p +k$ включительно на $J^{p + k}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m), k \in \mathbb{N}$. Под решениями исходной системы будем понимать поверхности на $J^{p + k}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ размерности $n$ такие, что они
1) лежат на $S$ и всех её дифференциальных следствиях, содержащих производные до порядка $p +k$ включительно и
2) касаются распределения Картана в каждой точке.

Кроме того каждое такое решение определяет свой класс эквивалентности следующим образом: две поверхности размерности $n$ эквивалентны, если их проекции на $J^{p}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ совпадают. Тогда высшие симметрии системы $S$ -- это по сути группы геометрических преобразований $J^{p + k}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ в себя, таких что они каждое решение системы, лежащее на $J^{p + k}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ переводят в поверхность, эквивалентную некоторому решению системы, лежащему на $J^{p + k}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$.

Итого: высшие симметрии допускают инерпретацию как геометрически действующие на $J^{p + k}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ локальные группы, которые всякое решение системы переводят в поверхность, эквивалентную какому-нибудь решению. Искать их можно так же -- через их алгебры Ли, но алгебры эти тоже имеет смысл брать с точностью до эквивалентности, где два поля эквивалентны, если в каждой точке их проекции на $J^{p}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ совпадают.

То есть описанные выше группы эквивалентны классическим высшим симметриям, если действовать по схеме:
1) взяли решение на $J^{p}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$
2) подняли его на $J^{p + k}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$
3) подействовали на него группой из тех, о которых написано выше
4) опустили результат на $J^{p}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$.
Получится, что на входе имеем честное решение, на выходе имеем честное решение.

Всё верно?

[пианист]

Сори, поспешил.
Среагировал на высшие симметрии, и дальше не вчитывался.
Так Вы хотите, чтобы сохранялся срез пфаффовых уравнений $du-pdx=0,..$ на многообразии системы, продолженной нужное число раз?

[VanD]

Давайте сначала с обычными высшими симметриями проясним. Я так понимаю, что для них есть геометрическая интерпретация, описанная здесь post1059448.html#p1059448.

[пианист]

А это разве не то же самое?

-- Ср окт 07, 2015 22:41:44 --

Я о Вашей конструкции.
Какая связь с высшими симметриями (aka группа Ли-Беклунда), я не понимаю.

[пианист]

В продолжение темы высших симметрий: я думаю, легче будет разобраться, если Вы возьмете какой-то классический пример, и на его основе проиллюстрируете, как работает Ваша конструкция.
Например, симметрия $u_{xxx}\frac{\partial}{\partial u} + ...$ уравнения теплопроводности $u_t = u_{xx}$ - как она "ложится" в Вашу схему?

[VanD]

Давайте на этих примерах. Для описания соответствующей высшей симметрии как экспоненты векторного поля на конечномерном многообразии нам понадобится $J^5(2, 1)$. На нём рассмотрим векторное поле: $X = u_{xxx}\frac{\partial \ }{\partial u} + u_{xxxx}\frac{\partial \ }{\partial u_x} + u_{xxxt}\frac{\partial \ }{\partial u_t} + u_{xxxxx}\frac{\partial \ }{\partial u_{xx}} + u_{xxxxt}\frac{\partial \ }{\partial u_{xt}} + u_{xxxtt}\frac{\partial \ }{\partial u_{tt}}$.
Его экспонента запишется тогда в виде:
$u' = u + au_{xxx} \\ (u_x)' = u_x + au_{xxxx} \\ (u_t)' = u_t + au_{xxxt} \\ (u_{xx})' = u_{xx} + au_{xxxxx} \\ (u_{xt})' = u_{xt} + au_{xxxxt} \\ (u_{tt})' = u_{tt} + au_{xxxtt} \\ (u_{xxx})' = u_{xxx} \\ ... \\ (u_{ttttt})' = u_{ttttt} $.

Под действием этой группы решение исходного уравнения (вместе с его продолжениями вплоть до 5 порядка) отобразиться в некоторую поверхность (2-мерную, пусть в данном примере проектируемую на $(x, t)$ диффеоморфно). Эта поверхность не будет интегральной для распределения Картана на $J^5(2, 1)$, но этого и не требуется, так как если взять образ её проекции на $J^2(2, 1)$, то образ этот будет решением. Это произойдёт потому что несмотря на то, что мы не сохранили распределение Картана, мы сумели сохранить то, что оно отображается в ядро системы форм

$du - u_xdx - u_tdt \\ du_x - u_{xx}dx - u_{xt}dt \\ du_t - u_{xt}dx - u_{tt}dt$

[пианист]

Вот теперь Ваша идея понятна.
Не, так не выйдет.
К сожалению, с ходу не получилось подобрать контрпример (теплопроводность в этом плане не показательна), так что я возьму таймаут.
Если просто на словах, проблема вот тут:

VanD в сообщении #1059448 писал(а):

Кроме того каждое такое решение определяет свой класс эквивалентности следующим образом: две поверхности размерности $n$ эквивалентны, если их проекции на $J^{p}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ совпадают. Тогда высшие симметрии системы $S$ -- это по сути группы геометрических преобразований $J^{p + k}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ в себя, таких что они каждое решение системы, лежащее на $J^{p + k}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ переводят в поверхность, эквивалентную некоторому решению системы, лежащему на $J^{p + k}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$.

Группы Ли-Беклунда корректно не проектируются: на каждом порядке компоненты поля зависят от следующих порядков, так что можно только "обрубить", что Вы и делаете; но "правильные" преобразования оставшихся координат зависят от "обрубленных", закон преобразования которых Вы таким образом искажаете.

[VanD]

пианист в сообщении #1061109 писал(а):

Группы Ли-Беклунда корректно не проектируются: на каждом порядке компоненты поля зависят от следующих порядков, так что можно только "обрубить", что Вы и делаете; но "правильные" преобразования оставшихся координат зависят от "обрубленных", закон преобразования которых Вы таким образом искажаете

Так мы и не будем проектировать группу, она пусть себе и действует там, где её определили - на $J^{p + k}(n, m)$. Проектировать будем образы решений под действием преобразований из группы.
То есть: будем говорить, что обычная локальная группа $G$, действующая на $J^{p + k}(n, m)$ есть группа высших симметрий системы $S$, если
$\forall g \in U(e) \subset G$ - некоторой окрестности нейтрального элемента, $\forall h$ - решения системы $ S $, $\pi_{p + k, 0} (g({L_h}^{p + k}))$ - график решения, где $L_h^r$ - поднятие решения $h$ на $J^r(n, m)$.

[пианист]

Обещаный примерчик (извиняюсь за задержку).
Симметрия $y'\frac{\partial}{\partial y} + ..$ уравнения $y'=y^2$ (сдвиг по $x$).
В соответствии с Вашей методикой, "обрезаем" оператор: $y'\frac{\partial}{\partial y} + y''\frac{\partial}{\partial y'} + 0 \frac{\partial}{\partial y''}$.
"Обрезаному" оператору соответствует конечное преобразование

$$ \begin{cases} y \to y+ay'+\frac{a^2}{2}y'',\\ y' \to y'+ay'',\\ y'' \to y''. \end{cases} $$

Если мы этим преобразованием подействуем на решение уравнения $y=\frac{1}{C-x}$, продолженное два раза, получим $y=\frac{1}{C-x}-\frac{a}{(C-x)^2}+\frac{a^2}{(C-x)^3}$ (собс-но, кусок тейлоровского разложения), что, как легко заметить, решением не является.

[VanD]

пианист в сообщении #1063276 писал(а):

Если мы этим преобразованием подействуем на решение уравнения $y=\frac{1}{C-x}$, продолженное два раза, получим $y=\frac{1}{C-x}-\frac{a}{(C-x)^2}+\frac{a^2}{(C-x)^3}$ (собс-но, кусок тейлоровского разложения), что, как легко заметить, решением не является.

Да, Вы правы, спасибо за вразумление)
Я не учёл ситуации, когда преобразование зависимых переменных зависит от производных порядка не меньше, чем $p + k$, что в данном случае равно $2$. Но если искать преобразования только из числа тех, когда преобразование зависимых переменных не зависит от производных порядка не меньше, чем $p + k$ ($p, \ k$ как в терминологии первых постов этой темы) - тогда их можно интерпретировать как геометрически действующие, ведь тогда под их действием распределение Картана не промахнётся мимо объемлющего распределения, которое проектируется в распределение Картана на $J^p$ - так мне думается, хотя это утверждение нуждается в проверке.

[пианист]

Вы имеете в виду что-то такое: $\xi(x, u, u_1,..,u_q)\frac{\partial}{\partial x} + \eta(x, u)\frac{\partial}{\partial u} + ..$?
А чем это поможет? в $u_1, u_2,..$ все равно "подтянутся" старшие производные, с тем же эффектом при "обрубании".

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Математика (общие вопросы)»
Причина переноса: не указана.