Определить вещественную и мнимую часть выражения

[trarbish]

Добрый день!

Есть следующее выражение:
$F(z)=\sh^{-1}\sqrt{\frac{z}{c}}$, где $z=x+iy$, a $c$ - некая вещественная константа.

Мне необходимо у данного выражения выделить мнимую и вещественную части, чтобы затем взять частные производные от этих частей по $x$ и $y$.
В общем пока не могу придумать с чего начинать - как выделять различные части у $F(z)$? Пока нашел только связи между обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями. Но в данном выражении еще и корень присутствует, так что не знаю как подступиться.

И еще такой вопрос. Могу ли я сначала взять производные, а потом выделять мнимую и действительную часть? То есть вопрос, верно ли утверждение: $\operatorname{Re}(\frac{\partial f(z)}{\partial x})=\frac{\partial \operatorname{Re}f(z)}{\partial x}$ ?

Заранее спасибо!

[Lia]

Каким было исходное задание? Самое исходное?

[trarbish]

Lia в сообщении #1061072 писал(а):

Каким было исходное задание? Самое исходное?

Это практически самое исходное задание. Задача из механики твердого тела. В выражения для перемещений входит эта функция, точнее отдельно мнимая и отдельно дествительная её части. Соответственно поэтому и возник этот вопрос. Затем для нахождения поворотов, нужно будет взять частные производные от перемещений.

[mihiv]

Из равенства $t=\sh ^{-1}\sqrt {\frac zc}$ выражаем $z=c\sh ^2t$(обратная функция). Дальше $\dfrac {dt}{dz}=\dfrac 1{\dfrac{dz}{dt}}=\dfrac 1{2\sqrt {z(c+z)}}\qquad (1)$
Действительная часть выражения (1) равна $\dfrac {\partial \operatorname{Re}F(z)}{\partial x}$.

[trarbish]

mihiv в сообщении #1061133 писал(а):

Из равенства $t=\sh ^{-1}\sqrt {\frac zc}$ выражаем $z=c\sh ^2t$(обратная функция)

Спасибо за ответ. Могли бы вы пояснить, почему вы пишите, что "(обратная функция)". Если я правильно понимаю, вы от левой и правой части берете гиперболический синус. Соответственно слева получается гиперболический синус от $t$, а справа просто $\sqrt {\frac zc}$. Затем возводите в квадрат и выражаете $z$. Но ведь тогда там получается простой гиперболический синус, а не обратный. Или я что-то упустил?

trarbish в сообщении #1061069 писал(а):

$\operatorname{Re}(\frac{\partial f(z)}{\partial x})=\frac{\partial \operatorname{Re}f(z)}{\partial x}$

Будет ли данное выражение справедливо в общем случае?

[arseniiv]

Да. Представьте просто $g\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, при этом $\operatorname{Re}$ берёт первую компоненту, а $\partial/\partial x$ — производная по первому параметру.

[mihiv]

trarbish в сообщении #1061163 писал(а):

почему вы пишите, что "(обратная функция)".

Обратная в обычном смысле, т.е. сопоставляющая значениям функции $F$ соответствующие значения аргумента $z$.

[ewert]

trarbish в сообщении #1061069 писал(а):

Но в данном выражении еще и корень присутствует, так что не знаю как подступиться.

(Оффтоп)

Вянет лист. Проходит лето.
‎Иней серебрится…
Юнкер Шмидт из пистолета
‎Хочет застрелиться.

Погоди, безумный, снова
‎Зелень оживится!
Юнкер Шмидт! честнОе слово --
‎Лето возвратится!

Есть же некая явная формула для гиперболического арксинуса. Туды и подставляйте.