Правильный треугольник

[Бином]

Я тут с одноклассником поспорил, что решу эту задачу в два дня, но моих знаний в геометрии не хватает , помогите пожалуйста.

Все точки, лежащие на сторонах правильного треугольника ABC, разбиты на два множества E1 и E2. Верно ли, что для любого такого разбиения в одном из множеств E1 и E2 найдется тройка вершин прямоугольного треугольника?

[Echo-Off]

Мне кажется, эта задача имеет некоторое отношение к аксиоме выбора

[ИСН]

Это не геометрия ни разу - это откровенная теория множеств.

[Brukvalub]

ИСН писал(а):

Это не геометрия ни разу - это откровенная теория множеств.

Не уверен. Думаю, что нужно придумать такую конфигурацию из прямоугольных треугольников с вершинами на сторонах правильного тре-ка, при которой много-много треугольников будут иметь много-много общих вершин, и тогда их не удастся правильно поделить на два множества, то есть ответ будет - нет. Вот только конфигурация должна быть нетривиальная

[незваный гость]

Мне почему-то кажется, что треугольник может найтись в любой конфигурации.

Это, конечно не доказательство, но… Предположим, что нельзя. Возьмём произвольную точку стороны. Из неё можно опустить две высоты, которые будут служить катетами хреновой тучи треугольников. Поэтому либо у любой такой высоты концы разного цвета, либо все остальные точки основания другого цвета. И тот, и другой вариант мне кажутся сильными ограничениями.

А если ещё и рассмотреть точку, делящую сторону в соотношении 1:2 и заметить, что проведённая из неё высота тоже делит сторону в этом же соотношении, то ясно, что одноцветная высота найдётся. И не одна (а по крайней мере две).

Более того, правильность треугольника, похоже, не важна: должно быть достаточно остроугольности.

[BVR]

А мне кажется, что чего-то в условии не хватает. Наример, что каждое множество должно содержать не менее трёх точек; кахдое из множеств Е1 и Е2 не должно содержаться в одной стороне; и возможно что-то ещё.

[незваный гость]

BVR писал(а):

А мне кажется, что чего-то в условии не хватает. Наример, что каждое множество должно содержать не менее трёх точек; кахдое из множеств Е1 и Е2 не должно содержаться в одной стороне; и возможно что-то ещё.

Просто нигде не оговорено, что вершины прямоугольного треугольника должны лежать на разных сторонах. Две из них могут лежать на одной.

[Dimoniada]

незваный гость писал(а):

:evil:

BVR писал(а):

А мне кажется, что чего-то в условии не хватает. Наример, что каждое множество должно содержать не менее трёх точек; кахдое из множеств Е1 и Е2 не должно содержаться в одной стороне; и возможно что-то ещё.

Просто нигде не оговорено, что вершины прямоугольного треугольника должны лежать на разных сторонах. Две из них могут лежать на одной.

Начинается)))))

[незваный гость]

Dimoniada писал(а):

Начинается)))))

Вы опоздали : эта задача решена.

[Dimoniada]

Выкладывай

[незваный гость]

уже

[Dimoniada]

незваный гость писал(а):

:evil: уже

Если ты опустишь 2 высоты, то как же между ними получится угол в 90 гр?
По-мойму, угол будет 120 гр.

[незваный гость]

Dimoniada писал(а):

Если ты опустишь 2 высоты, то как же между ними
получится угол в 90 гр?
По-мойму, угол будет 120 гр.

Во-первых, эти две высоты (о которых я говорю) — они из разных точек. А может так случиться, что и к разным сторонам. Могут и параллельными оказаться.

Во-вторых, по зрелом размышлении, две высоты и не нужны, достаточно одной.

Давайте назовём цвета патриотично, в честь Андреевского флага, белый и синий.

Смотрите: если есть высота, которая начинается и кончается в белых точках, то все остальные точки основания должны быть синими, иначе мы берём любую из них, и треугольник готов. Но тогда все остальные точки сторон должны быть белыми, потому, что иначе из любой синей точки опускаем высоту, и берём ещё одну синюю — этих у нас много. Мы получили, что у нашего треугольника две белых стороны. Опустим высоту из любой внутренней точки одной на другую, и мы в дамках.

[Профессор Снэйп]

Бином писал(а):

Все точки, лежащие на сторонах правильного треугольника ABC, разбиты на два множества E1 и E2. Верно ли, что для любого такого разбиения в одном из множеств E1 и E2 найдется тройка вершин прямоугольного треугольника?

Вопрос по условию: вершины треугольника тоже окрашены или только внутренности сторон?

[незваный гость]

Я приношу извинения: я не уверен, что моё употребление термина «выстота» для обозначения перпендикуляра к стороне треугольника, опущенного из произвольной точки стороны, корректно.

Доказательство, с точностью до этого уточнения термина, остаётся в силе.