Шум квантования

[profrotter]

Шум квантования можно рассматривать как результат нелинейного преобразования с функциональной характеристикой вида:

Вложение:

.jpg

$D$ - шаг квантования, $K=1$. Рассматривая такое нелинейное преобразование некоторого случайного процесса $\xi(t)$ с плотностью вероятности $w_{\xi}(x)$ и дисперсией $\sigma_{\xi}^{2}$, для плотности вероятности $w_{\eta}(y)$ результирующего процесса $\eta(t)$ можно получить:

$$w_{\eta}(y)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}w_{\xi}(y-nD),|y|<\frac{D}{2}.$$

Расчёты по этой формуле при $D<<\sigma_{\xi}$ дают равномерное распределение шума квантования. Вид этого распределения не зависит от вида $w_{\xi}(x)$. Это известный результат, с которым можно подробнее ознакомится в любом учебнике по цифровой обработке сигналов и подобным.

Я получаю шум квантования программно на основе реализаций гауссова процесса, процесса с равномерным распределением, гармонического сигнала с аддитивным гауссовым шумом (СКО шума гораздо меньше амплитуды гармонического сигнала). Реализация гауссова процесса получается на основе ПСП-датчика Builder5 C++ (каждый отсчёт получается сложением 100 последовательных элементов ПСП). Процесс с равномерным распределением получается нелинейным преобразованием гауссова. Гистограммы строятся по одной реализиции процесса. Во всех случаях построенные гистограммы соответствуют ожиданиям.

Распределение получаемого шума квантования по результатам этого программного эксперимента независит от вида квантуемого процесса, но получаемая гистограмма не соответствует ожиданиям:

Вложение:

.jpg

Сплошной линией на графике показан закон вида:

$$w_{\eta}(y)=\frac{7}{5D}\left(1-\left(\frac{2|y|}{D}\right)^{\frac{5}{2}}\right),|y|<D.$$

При квантовании чистой гармоники указанного закона не получается, но и равномерного тоже. Однако, стоит добавить маленький шум - получается указанный закон распределения шума квантования.

Само по себе отличие законов распределения несущественно, поскольку при практических расчётах разрядности сетки значение имеет дисперсия шума квантования. При равномерном распределении она равна $\sigma_{\xi}^2=\frac{D^2}{12}\approx 0.083D^2$, при законе, который привёл я $\sigma_{\xi}^2=\frac{7D^2}{132}\approx 0.053D^2$.

Сам я имею предположение, что несоответствие полученного закона распределения теоретическому имеет место из-за нарушения эргодичности при формировании шума квантования.

Вопросы:
1. Почему теоретический и полученный при моделировании законы распределения не совпадают?
2. Ставил ли кто-нибудь опыт по исследованию шума квантования, какие результаты вами были получены?
3. Нет ли где в литературе описания рассматриваемой проблемы?

[Munin]

А тут обязательно использовать слово "квантование", или можно "дискретизация"?

А то я думал, вы про вот это вот:
«Флуктуации вакуума впервые измерили напрямую»

[levtsn]

Как у вас соотносится амплитуда квантуемого сигнала с шагом квантования? точно шаг квантования намного меньше амплитуды сигнала?
Когда то я изучал "шум" квантования и приемы уменьшения его влияния на передачу (но не именно этот вопрос).
Ясно, что при квантовании последовательностей с "естественными" распределениями, распределение ошибки квантования будет приближаться к равномерной, и ни как не получится то что показано на рис. выше.
...
Munin
В обработке сигналов есть устоявшийся язык, дискретизацию по амплитуде часто называют квантованием.

[Munin]

Я знаю. Но если есть слово "дискретизация", почему бы его не использовать? Особенно рядом с настоящим квантованием.

[profrotter]

levtsn в сообщении #1060767 писал(а):

Как у вас соотносится амплитуда квантуемого сигнала с шагом квантования? точно шаг квантования намного меньше амплитуды сигнала?

Не-а. У меня шаг квантования много меньше среднеквадратического отклонения квантуемого процесса.

Munin в сообщении #1060769 писал(а):

дискретизация

Дискретизация подразумевается во времени, а квантование - по уровню. Ну, так люди договорились с терминологией.

[levtsn]

покажите исходники и сам процесс

[profrotter]

Боюсь исходник слишком велик, чтобы его показывать. А так смотрите http://strts-online.narod.ru/srt/files/nltransform.zip Выбираете нелинейную цепь цепь8 (это формирователь шума квантования) и смотрите процессы.

[levtsn]

в этом разбираться неохота

[Munin]

profrotter в сообщении #1060773 писал(а):

Дискретизация подразумевается во времени, а квантование - по уровню. Ну, так люди договорились с терминологией.

Спасибо. Довольно дико для меня, конечно...

[levtsn]

наверное в этой программе неучтенный поцесс, может какойто модуль подключен по умолчанию или типа того.

[profrotter]

levtsn в сообщении #1060815 писал(а):

наверное в этой программе неучтенный поцесс, может какойто модуль подключен по умолчанию или типа того.

В этой программе нет ничего лишнего и неучтённого. Искать ошибки в алгоритмах обработки тоже нет никакой необходимости. А тут, по сути, только один алгоритм - алгоритм построения гистограммы. Он правильно функционирует при обработке гауссова процесса, процесса с равномерным распределением, процесса в виде гармонического сигнала с случайной начальной фазой, в случае процесса в виде смеси гармонического сигнала и шума, в случае процессов, получаемых при преобразовании указанных линейными и нелинейными цепями (за исключением рассматриваемого в этой теме случая), в том смысле, что получаемые распределения соответствуют теоретическим. Об этом отдельно было сказано с стартовом сообщении темы.

Кажется я нашёл корень зла. Период дискретизации при обработке процессов в программе оказывается больше (равен) интервалу корреляции процесса. Это сказывается уже на этапе формирования самого шума квантования: нелинейное преобразование рассчитывается поточечно, а ведь его результат может требовать ещё более меньшего шага дискретизации, чем исходный процесс. Потом, при расчёте гистограммы, осуществляется интерполяция. Интерполяция - это чуть-чуть (при правильной дискретизации) ФНЧ фильтрация и, стало быть, маленький шаг к нормализации. А при неправильной дискретизации - не чуть - чуть. Во всех перечисленных выше случаях, которые не вызывали сомнений, это, по-видимому, не обнаруживалось "на глаз", а в случае с шумом квантования привело к ощутимому отличию распределения от ожидаемого. Попробую увеличить интервал корреляции исходного процесса.

[levtsn]

Вот в интерполяции и дело. Лучше уберите её.

[Chifu]

Munin в сообщении #1060810 писал(а):

profrotter в сообщении #1060773 писал(а):

Дискретизация подразумевается во времени, а квантование - по уровню. Ну, так люди договорились с терминологией.

Спасибо. Довольно дико для меня, конечно...

Оцифровка сигнала это дискретизация и квантование сигнала.

[Geen]

profrotter в сообщении #1060753 писал(а):

Сплошной линией на графике показан закон вида

Прошу прощения, а откуда этот закон (там ещё, видимо, модуль пропущен)?

[profrotter]

Geen в сообщении #1061246 писал(а):

откуда этот закон

Подобрался. Да - модуль.