Определение квантовой нормы и суммы гильбертовых пространств

[kp9r4d]

Мне непонятно два определения в учебнике Хелемского "Лекции по функциональному анализу".
1. Пусть для каждого $n \in \mathbb{N}$ в пространстве $M_n(E)$ (матриц $n \times n$ с элементами в нормированном пространстве $E$) задана норма $|| \cdot ||_n$. Последовательность норм $|| \cdot ||_n$ называется квантовой нормой в $E$, если она обладает следующими свойствами:
1) Для любых $x \in M_n(E)$ и $y \in M_m(E)$ выполнено равенство $||x \oplus y||_{m+n} = \max \{ ||x||_n,||y||_m\}$
2) Для любых $x \in M_n(E)$ и $\alpha \in M_n$ выполнены неравенства $||\alpha x||_n \leqslant ||\alpha|| ||x||_n$, $$||x \alpha||_n \leqslant ||x||_n ||\alpha||$.
Вот мне, собственно, непонятно, что это за значок такой $||\alpha||$? Ведь $\alpha$ у нас матрица скаляров из $\mathbb{C}$ и, вообще говоря, не снабжена никакой естественной нормой, а определение не требует от нас её вводить (оно требует от нас вводить только нормы на $M_n(E)$ ).
Хелемский "Лекции по функциональному анализу" с. 148 параграф 1.7 "Приглашение в квантовый функциональный анализ" определение 1

2. Если $H_v, v \in \Lambda$ - семейство гильбертовых пространств, то $l_2$ сумма этого семейства также является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения, заданного по правилу $(f,g) := \sum \{(f(v),g(v)) | v \in \Lambda \}$. Это гильбертово пространство будем называть гильбертовой прямой суммой заданного семейства.
Мне не понятен значок $\sum \{(f(v),g(v)) | v \in \Lambda \}$ очевидно всё корректно, если $\Lambda$ конечно, но если оно бесконечно, то почему заданная сумма вообще будет существовать?
Хелемский "Лекции по функциональному анализу" с. 160 параграф 2.1 "То, что лежит на поверхности" второй абзац.

[Dan B-Yallay]

kp9r4d в сообщении #1060592 писал(а):

Вот мне, собственно, непонятно, что это за значок такой $||\alpha||$? Ведь $\alpha$ у нас матрица скаляров из $\mathbb{C}$ и, вообще говоря, не снабжена никакой естественной нормой, а определение не требует от нас её вводить (оно требует от нас вводить только нормы на $M_n(E)$ ).

Видимо, имеется в виду "любая норма". Пространство ведь конечномерно, а в нём они все эквивалентны. Не могу сказать точнее, так как нет Хелемского под рукой ни в каком виде.

[kp9r4d]

Dan B-Yallay в сообщении #1060600 писал(а):

Видимо, имеется в виду "любая норма". Пространство ведь конечномерно, а в нём они все эквивалентны.

Вполне возможно, да.

[Dan B-Yallay]

kp9r4d в сообщении #1060592 писал(а):

но если оно бесконечно, то почему заданная сумма вообще будет существовать?

Нипочему. Видимо, что-то оговорено в тексте ранее и Вы не обратили на это внимания/упустили.

[kp9r4d]

То есть $l_2$ сумму гильбетровых пространств можно только конечную брать?

[Dan B-Yallay]

kp9r4d в сообщении #1060613 писал(а):

То есть $l_2$ сумму гильбетровых пространств можно только конечную брать?

Это бы имело смысл. К сожалению, без учебника в руках ничего не могу сказать.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1060613 писал(а):

То есть $l_2$ сумму гильбетровых пространств можно только конечную брать?

Нет. Подразумевается соглашение, что $l^2$-сумма состоит из таких элементов $f$, что $\sum_{v\in \Lambda}\|f_v\|^2$ конечна. Сумма несчетного числа слагаемых определяется как $\mathrm{sup}$ всех конечных сумм; т. е. для конечности такой суммы необходимо, чтобы среди $f_v$ было не более чем счетное количество ненулевых.

[kp9r4d]

Теперь понятно, спасибо!

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1060592 писал(а):

Вот мне, собственно, непонятно, что это за значок такой $||\alpha||$? Ведь $\alpha$ у нас матрица скаляров из $\mathbb{C}$ и, вообще говоря, не снабжена никакой естественной нормой, а определение не требует от нас её вводить (оно требует от нас вводить только нормы на $M_n(E)$ ).

А еще вы читать не умеете. Несколькими строчками выше определения (вверху страницы) написано, что такое $\|\alpha\|$. Впрочем, и так понятно, что имеется в виду операторная норма, поскольку идут разговоры о мультипликативности.

[kp9r4d]

g______d в сообщении #1060651 писал(а):

А еще вы читать не умеете. Несколькими строчками выше определения (вверху страницы) написано, что такое $\|\alpha\|$.

Точно же! Спасибо.