Сходимость рядов

[paradiseva]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.

Прошу Вас о помощи, очень уж не уверена в правильности решений/рассуждений.
Задание: Исследовать сходимость положительного ряда, применяя какой – либо из достаточных признаков сходимости (сравнения, Даламбера, радикальный или интегральный)
a)
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2n+1}}{2^{3n-4}}$

Я проверила выполнение условия необходимого признака сходимости ряда:

$\lim\limits_{n\to\infty}{a_{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}{3^{2n}\cdot3\cdot2^{-3n}\cdot2^{4}}=48\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{9}{8})^n\ne0$

Отсюда делаю вывод, что ряд расходится.
Правда, меня терзают смутные сомнения, что я могла бы подобрать какой-нибудь ряд для сравнения (чтобы мое решение соответствовало заданию), например, тот же $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{9}{8})^n$, т.е. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2n+1}}{2^{3n-4}} > \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{9}{8})^n$
И тогда я делаю вывод, что если расходится второй ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{9}{8})^n$, значит расходится и первый $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2n+1}}{2^{3n-4}}$

b) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{e^{3n^{3}}}$
С этим рядом я попробовала признак Д'Аламбера:
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{e^{3(n+1)^{3}}}\cdot\frac{e^{3n^{3}}}{n^{2}}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{9n^{2}}=\infty
По идее, ряд расходится. Но, если внимательно посмотреть на выражение $\frac{n^{2}}{e^{3n^{3}}}$, экспонента растет быстрее, чем числитель, т.е. предел на бесконечности будет равен 0, а значит, выполняется необходимое условие сходимости.

К этому ряду я еще пыталась применить интегральный признак Коши
$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{n^{2}}{e^{3n^{3}}}dn = |выполняю замену 3n^{3}=t| = \frac{1}{9}\int\limits_{1}^{\infty}e^{-t}dt = $$-\frac{1}{9}\lim\limits_{b\to+\infty}(e^{-3b^{3}}-e^{-3^{3}})$$ = -\frac{e^{27}}{9} $
Делаю вывод, что интеграл сходится, значит, ряд тоже сходится.

В общем, запуталась ужасно. Расписала все свои размышления по поводу обоих примеров, пожалуйста, помогите "навести порядок" в решениях. Заранее благодарна!

[Otta]

В первом пункте все нормально, необходимого условия хватает, за цифирьками не следила.
Во втором - должно хватить Даламбера за глаза, ошибка в арифметике.

[paradiseva]

Otta, Вы правы, промахнулась со знаками.

Пересчитала:

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{e^{3(n+1)^{3}}}\cdot\frac{e^{3n^{3}}}{n^{2}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(n^{2}+2n+1) \cdot e^{3n^{3}}}{e^{3(n^{3}+3n^{2}+3n+1)} \cdot n^{2}}= \lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}) \cdot e^{3n^{3}-3n^{3}-9n^{2}-9n-3}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{-9n^{2}-9n-3}=\frac{1}{e^{3}}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{e^{9(n^2-n)}} = 0 < 1

Значит, ряд сходится.

Спасибо Вам огромное!

[ewert]

paradiseva в сообщении #1060448 писал(а):

т.е. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2n+1}}{2^{3n-4}} > \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{9}{8})^n$

Т.е. это издевательство: они же просто пропорциональны.