Задача по классмеху

[Mathew Rogan]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, разобраться в задачке.

Судно (точка M на рисунке) движется с постоянной скоростью V, которая образует с географическим меридианом постоянный угол $\alpha$. Нужно определить ускорение судна как функцию угла $\upsilon$ (угла между осью Земли и радиусом).

Задача решается в общем случае в сферических координатах (хотя можно и в полярные свести в принципе). Но у меня загвоздка с углом $\alpha$, не могу понять, как его использовать, всё упирается в геометрию.

У меня получается угловая скорость $\omega = V/R$, по всей видимости, это не так, ещё угол $\alpha$ надо учитывать.

Ответ такой:

[unistudent]

Здесь скорость $V$ надо разложить по осям, одна из которых - касательная к меридиану.

[Mathew Rogan]

unistudent в сообщении #1059596 писал(а):

Здесь скорость $V$ надо разложить по осям, одна из которых - касательная к меридиану.

Я пробовал: касательная скорость будет равна $V\cos\alpha$, или надо искать проекцию на ось $\upsilon$?

[unistudent]

А что такое ось $v$? У вас в условии так обозначен угол. Вектор скорости $V$ лежит в касательной плоскости. Вводите в этой плоскости ортогональную систему координат и проецируйте скорость на оси этой системы.

[Mathew Rogan]

Хорошо. Получается, что $V_x = Vcos\alpha$. Тогда нормальное ускорение должно быть равно $a_n = \frac {V_x^2} {R} = \frac {V^2 \cos^2 \alpha} {R}$.

Но с ответом это не совпадает. Видимо, я чего-то принципиально не понимаю в этой задаче.

[Munin]

Mathew Rogan в сообщении #1059586 писал(а):

Задача решается в общем случае в сферических координатах (хотя можно и в полярные свести в принципе). Но у меня загвоздка с углом $\alpha$, не могу понять, как его использовать, всё упирается в геометрию.

Этот угол приводит к тому, что по глобусу судно будет двигаться не "по прямой" (не по дуге большого круга, и даже не по окружности), а по искривлённой траектории. Её искривление тоже надо учитывать, рассчитывая ускорение: в итоге, пространственная кривизна траектории судна в пространстве не будет равна $R$ - радиусу Земли.

Ну и кстати, Земля ещё и сама по себе вращается, что приводит к сильному изменению ответа. Это косяк составителей задачи: надо было указать отдельно, что Земля считается неподвижной.

И наконец, угол между осью Земли и радиусом у вас на рисунке - $\theta.$ Греческие буквы надо знать и уметь читать. При очень большом желании выпендриться - можно написать $\vartheta.$ Это вариант написания той же $\theta.$ Но ни в коем случае не $\upsilon$!!! Это совсем другая буква, из другого конца алфавита, не имеющая ничего общего с правильной.

-- 06.10.2015 17:51:29 --

Mathew Rogan в сообщении #1059636 писал(а):

Видимо, я чего-то принципиально не понимаю в этой задаче.

Не волнуйтесь, unistudent тоже не понимает :-)

[Mathew Rogan]

Munin в сообщении #1059639 писал(а):

И наконец, угол между осью Земли и радиусом у вас на рисунке - $\theta.$ Греческие буквы надо знать и уметь читать. При очень большом желании выпендриться - можно написать $\vartheta.$ Это вариант написания той же $\theta.$ Но ни в коем случае не $\upsilon$!!! Это совсем другая буква, из другого конца алфавита, не имеющая ничего общего с правильной.

Я просто не смог отыскать, как этот вариант теты можно здесь написать, пришлось заменить ипсилоном. Теперь буду знать, как её изобразить $\vartheta.$

[unistudent]

Не волнуйтесь, у нас здесь всё Munin понимает и за всех всё решает
Передаю вас в надежные руки

-- 06.10.2015, 18:07 --

Впрочем, судя по тому, что я сейчас прочитал выше, не совсем надежные. Кажется, сейчас Munin попросит вас найти кривую, по которой движется судно

-- 06.10.2015, 18:15 --

Ни в коем случае не поддавайтесь на провокацию. Всё что вам надо - это спроецировать вашу скорость на неподвижные оси. Легче всего это сделать, спроецировав её сначала на оси касательной плоскости.

[Mathew Rogan]

В общем, получается как-то так, но что это даёт? Дальше проецировать на основные оси? Скорость ещё должна как-то зависеть от времени, чтобы я мог производную потом взять.

[amon]

Попробуйте решить предварительно решить две простенькие задачки. Найдите ускорение если:
1. Судно идет строго по меридиану.
2. Судно идет строго по параллели.

(Судя по ответу, Земля у нас покоится на трех китах ).

[Mathew Rogan]

amon в сообщении #1059659 писал(а):

Попробуйте решить предварительно решить две простенькие задачки. Найдите ускорение если:
1. Судно идет строго по меридиану.
2. Судно идет строго по параллели.

Я так понимаю, и в том, и в другом случае ускорение будет равно $a_n = \frac {V^2} {R}$, так как судно движется строго по окружности радиуса $R$.

[unistudent]

Mathew Rogan в сообщении #1059658 писал(а):

В общем, получается как-то так, но что это даёт? Дальше проецировать на основные оси? Скорость ещё должна как-то зависеть от времени, чтобы я мог производную потом взять.

На вашей картинке судно взлетает. Кажется вы неправильно интерпретируете угол $\alpha$

[Mathew Rogan]

unistudent в сообщении #1059667 писал(а):

На вашей картинке судно взлетает. Кажется вы неправильно интерпретируете угол $\alpha$

Чёрт побери, так это угол, отмеряемый в сторону от меридиана Да уж, дал маху...

[amon]

Mathew Rogan в сообщении #1059663 писал(а):

и в том, и в другом случае ускорение будет равно $a_n = \frac {V^2} {R}$,

А подумать? Как выглядит траектория движения по параллели?

[Munin]

unistudent в сообщении #1059651 писал(а):

Кажется, сейчас Munin попросит вас найти кривую, по которой движется судно :facepalm:

А без этого нельзя решить задачу.

Вот прав был Oleg Zubelevich, отзываясь о вашем самомнении, несоразмерном с реальными знаниями.

Кстати, задача в аккурат по его ведомству.

-- 06.10.2015 19:15:26 --

amon в сообщении #1059659 писал(а):

(Судя по ответу, Земля у нас покоится на трех китах :roll: ).

Ага. $\boldsymbol{i}_x,\boldsymbol{i}_y,\boldsymbol{i}_z.$