2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Посчитать интеграл
Сообщение02.10.2015, 15:27 


30/09/15
27
Здравствуйте!

Есть интеграл:
$   \int_{0}^{x} z^b \cdot e^{a z} \cdot dz  $
Надо его найти. Параметры действительные $a>0, b>0, 0<x<1$, то есть могут быть и дробными.

Сделал чтобы он был похож на неполную гамма-функцию:

$  \frac{1}{(-a)^{1+b}}  \int_{0}^{x} (-az)^b \cdot e^{a z} \cdot d(-az)     $

После замены переменной $y=-az$ происходит следующее:

$  \frac{1}{(-a)^{1+b}}  \int_{0}^{-ax} y^b \cdot e^{-y} \cdot dy     $

То есть получается отрицательное число в верхнем пределе интегрирования. Мат. пакеты отказываются такое считать (при попытке посчитать неполную гамма-функцию с такими параметрами: $\Gamma(b+1,-ax)$), хотя метод трапеций для $z^b \cdot e^{a z}$ работает нормально. Что делать? Как точно вычислить интеграл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение02.10.2015, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Zazaqa в сообщении #1058439 писал(а):
Сделал чтобы он был похож на неполную гамма-функцию:

$  \frac{1}{(-a)^{1+b}}  \int_{0}^{x} (-az)^b \cdot e^{a z} \cdot d(-az)     $

Вас не смущает, что под "произвольную" степень попало отрицательное число:$(-az)^b$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение02.10.2015, 16:22 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Zazaqa в сообщении #1058439 писал(а):
Мат. пакеты отказываются такое считать

Не совсем профильное для раздела "решение"... но все же Maxima выполняет и приведение к неполным гамма-функциям, и вычисление значений, что называется, "из коробки". Поэтому, если надо просто посчитать, то см.выше, а если надо именно так, то распишите, как Вы "сделал чтобы", похоже, что там ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение02.10.2015, 16:39 


30/09/15
27
Pphantom в сообщении #1058457 писал(а):
Не совсем профильное для раздела "решение"... но все же Maxima выполняет и приведение к неполным гамма-функциям, и вычисление значений, что называется, "из коробки". Поэтому, если надо просто посчитать, то см.выше, а если надо именно так, то распишите, как Вы "сделал чтобы", похоже, что там ошибка.

Нет ошибки (вроде), так как $ \frac{1}{(-a)^1} $ идет под дифференциал $d$, а $ \frac{1}{(-a)^b} $ домножается к $ (z)^b $.

Brukvalub в сообщении #1058452 писал(а):
Вас не смущает, что под "произвольную" степень попало отрицательное число:$(-az)^b$ ?

А что с этим можно сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение02.10.2015, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Zazaqa в сообщении #1058464 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1058452

писал(а):
Вас не смущает, что под "произвольную" степень попало отрицательное число:$(-az)^b$ ?
А что с этим можно сделать?

Просто можно нужно так не делать!

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение02.10.2015, 17:07 


30/09/15
27
Brukvalub в сообщении #1058466 писал(а):
Просто можно нужно так не делать!

Вы намекаете на то, что я неправильно привожу? Или что приводить надо к чему-то другому?
Если к неполной гамме приводить, то другого варианта не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение02.10.2015, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Zazaqa в сообщении #1058475 писал(а):
Если к неполной гамме приводить, то другого варианта не вижу.

Это беспощадный аргумент! Если нельзя, но очень хочется, то можно! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение02.10.2015, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Раскладывайте с другого конца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение02.10.2015, 22:15 


30/09/15
27
ИСН в сообщении #1058591 писал(а):
Раскладывайте с другого конца.

Что это означает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение03.10.2015, 13:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
$\int\limits_0^xze^z\;dz=-\int\limits_x^0(x-t)e^{x-t}\;dt=e^x\int\limits_0^x(x-t)e^{-t}\;dt$, а этот Вы предположительно знаете, как выразить через неполную гамму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение03.10.2015, 20:33 


30/09/15
27
ИСН в сообщении #1058780 писал(а):
$\int\limits_0^xze^z\;dz=-\int\limits_x^0(x-t)e^{x-t}\;dt=e^x\int\limits_0^x(x-t)e^{-t}\;dt$, а этот Вы предположительно знаете, как выразить через неполную гамму.

Я понял что Вы хотите сделать, что так можно менять знаки, оставляя пределы интегрирования теми же. Но степень $b$ мешает и от нее не избавиться (так как дробная).

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение04.10.2015, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ах, дробная. Хм. Тогда таки плохо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение04.10.2015, 15:22 


30/09/15
27
ИСН в сообщении #1059046 писал(а):
Ах, дробная. Хм. Тогда таки плохо.

В первом посте у меня получалась вот такая штука:

$ \frac{1}{(-a)^{1+b}} \int_{0}^{-ax} y^b \cdot e^{-y} \cdot dy = \frac{1}{(-a)^{1+b}} \Gamma(1+b, -ax)$

Во-первых, $ \Gamma(1+b, -ax)$ в мат. пакетах возвращает комплексное число $\gamma =  \Gamma(1+b, -ax)$.
Во-вторых, интегрируя численно обнаружил, что $ \int_{0}^{x} z^b \cdot e^{a z} \cdot dz = \frac{1}{a^{1+b}} |\gamma|$, где $| \cdot |$ есть модуль числа (длина вектора на комплексной плоскости).

Осталось найти тот самый промежуточный шаг решения. Я пока не знаю, как это сделать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group