Посчитать интеграл

[Zazaqa]

Здравствуйте!

Есть интеграл:
$ \int_{0}^{x} z^b \cdot e^{a z} \cdot dz $
Надо его найти. Параметры действительные $a>0, b>0, 0<x<1$, то есть могут быть и дробными.

Сделал чтобы он был похож на неполную гамма-функцию:

$ \frac{1}{(-a)^{1+b}} \int_{0}^{x} (-az)^b \cdot e^{a z} \cdot d(-az) $

После замены переменной $y=-az$ происходит следующее:

$ \frac{1}{(-a)^{1+b}} \int_{0}^{-ax} y^b \cdot e^{-y} \cdot dy $

То есть получается отрицательное число в верхнем пределе интегрирования. Мат. пакеты отказываются такое считать (при попытке посчитать неполную гамма-функцию с такими параметрами: $\Gamma(b+1,-ax)$), хотя метод трапеций для $z^b \cdot e^{a z}$ работает нормально. Что делать? Как точно вычислить интеграл?

[Brukvalub]

Zazaqa в сообщении #1058439 писал(а):

Сделал чтобы он был похож на неполную гамма-функцию:

$ \frac{1}{(-a)^{1+b}} \int_{0}^{x} (-az)^b \cdot e^{a z} \cdot d(-az) $

Вас не смущает, что под "произвольную" степень попало отрицательное число:$(-az)^b$ ?

[Pphantom]

Zazaqa в сообщении #1058439 писал(а):

Мат. пакеты отказываются такое считать

Не совсем профильное для раздела "решение"... но все же Maxima выполняет и приведение к неполным гамма-функциям, и вычисление значений, что называется, "из коробки". Поэтому, если надо просто посчитать, то см.выше, а если надо именно так, то распишите, как Вы "сделал чтобы", похоже, что там ошибка.

[Zazaqa]

Pphantom в сообщении #1058457 писал(а):

Не совсем профильное для раздела "решение"... но все же Maxima выполняет и приведение к неполным гамма-функциям, и вычисление значений, что называется, "из коробки". Поэтому, если надо просто посчитать, то см.выше, а если надо именно так, то распишите, как Вы "сделал чтобы", похоже, что там ошибка.

Нет ошибки (вроде), так как $ \frac{1}{(-a)^1} $ идет под дифференциал $d$, а $ \frac{1}{(-a)^b} $ домножается к $ (z)^b $.

Brukvalub в сообщении #1058452 писал(а):

Вас не смущает, что под "произвольную" степень попало отрицательное число:$(-az)^b$ ?

А что с этим можно сделать?

[Brukvalub]

Zazaqa в сообщении #1058464 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1058452

писал(а):
Вас не смущает, что под "произвольную" степень попало отрицательное число:$(-az)^b$ ?
А что с этим можно сделать?

Просто можно нужно так не делать!

[Zazaqa]

Brukvalub в сообщении #1058466 писал(а):

Просто можно нужно так не делать!

Вы намекаете на то, что я неправильно привожу? Или что приводить надо к чему-то другому?
Если к неполной гамме приводить, то другого варианта не вижу.

[Brukvalub]

Zazaqa в сообщении #1058475 писал(а):

Если к неполной гамме приводить, то другого варианта не вижу.

Это беспощадный аргумент! Если нельзя, но очень хочется, то можно!

[ИСН]

Раскладывайте с другого конца.

[Zazaqa]

ИСН в сообщении #1058591 писал(а):

Раскладывайте с другого конца.

Что это означает?

[ИСН]

$\int\limits_0^xze^z\;dz=-\int\limits_x^0(x-t)e^{x-t}\;dt=e^x\int\limits_0^x(x-t)e^{-t}\;dt$, а этот Вы предположительно знаете, как выразить через неполную гамму.

[Zazaqa]

ИСН в сообщении #1058780 писал(а):

$\int\limits_0^xze^z\;dz=-\int\limits_x^0(x-t)e^{x-t}\;dt=e^x\int\limits_0^x(x-t)e^{-t}\;dt$, а этот Вы предположительно знаете, как выразить через неполную гамму.

Я понял что Вы хотите сделать, что так можно менять знаки, оставляя пределы интегрирования теми же. Но степень $b$ мешает и от нее не избавиться (так как дробная).

[ИСН]

Ах, дробная. Хм. Тогда таки плохо.

[Zazaqa]

ИСН в сообщении #1059046 писал(а):

Ах, дробная. Хм. Тогда таки плохо.

В первом посте у меня получалась вот такая штука:

$ \frac{1}{(-a)^{1+b}} \int_{0}^{-ax} y^b \cdot e^{-y} \cdot dy = \frac{1}{(-a)^{1+b}} \Gamma(1+b, -ax)$

Во-первых, $ \Gamma(1+b, -ax)$ в мат. пакетах возвращает комплексное число $\gamma = \Gamma(1+b, -ax)$.
Во-вторых, интегрируя численно обнаружил, что $ \int_{0}^{x} z^b \cdot e^{a z} \cdot dz = \frac{1}{a^{1+b}} |\gamma|$, где $| \cdot |$ есть модуль числа (длина вектора на комплексной плоскости).

Осталось найти тот самый промежуточный шаг решения. Я пока не знаю, как это сделать.