Можно ли считать множество точек множеством векторов?

[NSKuber]

GrandCube в сообщении #1057317 писал(а):

Если надо выяснить, является ли что-либо подпространством линейного пространства ... то я должен доказать, что данное мн-во - линейное подпространство/не является линейным подпространством?

Утверждение верное, но бессмысленное
Чтобы доказать, что подмножество линейного пространства является линейным подпространством, надо доказать, что это множество с операциями, взятыми из основного пространства, является линейным пространством само по себе. Иными словами, доказать замкнутость этого множества относительно сложения векторов и умножения на скаляр.
Например, множество неотрицательных функций на отрезке подпространством всех функций не является - не выдерживает умножения на скаляр.

[Someone]

Я понял задачу так.
Имеется множество всех упорядоченных пар $(x;y)$ действительных чисел, которые именуются "точками плоскости" (ну почему бы и нет; это множество обозначается $\mathbb R^2$ и называется двумерным арифметическим пространством; нет серьёзных причин не называть это множество "плоскостью"). Определены операция сложения пар $(a;b)+(c;d)=(a+c;b+d)$ и операция умножения пары на число $\lambda(a;b)=(\lambda a;\lambda b)$. Требуется проверить, является ли это множество "точек плоскости" линейным пространством.
Так?

Если так, то не загромождайте задачу ненужными сущностями типа "векторов" и "начала отсчёта". Просто проверяйте выполнение аксиом линейного пространства.

GrandCube в сообщении #1057317 писал(а):

Если надо выяснить, является ли что-либо подпространством линейного пространства (например, мн-во неотрицательных функций на некотором отрезке для линейного пространства всех функций), то я должен доказать, что данное мн-во - линейное подпространство/не является линейным подпространством?

Э-э-э… Как-то дурно сформулировано.
Да, если Вы предполагаете, что данное подмножество не является линейным подпространством, покажите, что оно не замкнуто относительно одной из операций. Достаточно привести один пример, когда результат операции не принадлежит данному подмножеству, хотя операнды являются допустимыми.

[Brukvalub]

Нужно проверить определение подпространства.

[GrandCube]

А если предполагаю, что является подпространством, то достаточно показать замкнутость относительно сложения и скаляра?

-- 28.09.2015, 17:38 --

То есть если я хочу доказать, что множество ограниченных последовательностей - линейное пространство, то пойдет так: Пусть S - множество ограниченных последовательностей
1) $\forall x_n\in S, \forall \alpha\in\mathbb{R}, x_n\cdot\alpha\in S$, т.к. $\exists M\cdot\alpha\in S: \forall n\in\mathbb{N}, x_n\cdot\alpha\leqslant M\cdot\alpha $
2) $\forall x_n, y_n\in S, x_n+y_n\inS $, т.к. $\exists M+L\in S: \forall n\in\mathbb{N}, x_n+y_n\leqslant M+L $

Где M и L - границы последовательностей (здесь привел пример только ограниченных сверху)

[NSKuber]

GrandCube
Примерно так. Только модули надо кое-где ставить. И для умножения используйте \cdot.

[provincialka]

Someone в сообщении #1057326 писал(а):

которые именуются "точками плоскости" (ну почему бы и нет; это множество обозначается $\mathbb R^2$ и называется двумерным арифметическим пространством; нет серьёзных причин не называть это множество "плоскостью")

Серьезных нет. Есть только несерьезная: побыстрее отучить студиозусов от излишней геометризации. От идей типа "вектор = направленный отрезок". И от вопросов типа заглавного в теме.

[GrandCube]

Всем спасибо

[Munin]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1057377 писал(а):

Серьезных нет. Есть только несерьезная: побыстрее отучить студиозусов от излишней геометризации.

А чем плоха геометризация, и как она вообще может быть излишней?

[provincialka]

Munin
Хороша. Когда своевременна. Просто, как показывает опыт, при переходе от школьной математики к вузовской сильно повышается уровень абстракции... И не все вчерашние школьники могут сразу к нему привыкнуть. Поэтому, может быть и полезно их немножко "оторвать от груди" геометрии. Потом, когда "вырастут", могут снова пить молоко! (Если, конечно, оно им вдруг не противопоказано )

Вообще мне кажется, что для понимания математики нужно уметь уходить от образов.

(Оффтоп)

Например, я часто даю студентам такую простую задачку:

Мера -- это функционал на множествах, удовлетворяющий двум свойствам:
неотрицательность $m(A)\geqslant 0$ и
аддитивность $m(A\cup B) =m(A) + m(B)$ если $A$ и $B$ не пересекаются.
Докажите, что из $A\subset B$ следует, что $m(a)\leqslant m(B)$

Догадываетесь, какое выдается "решение"?

Впрочем, умение использовать образы нужно не меньше! Надо просто научиться переключаться с одного умения на другое.

[Xaositect]

provincialka в сообщении #1057377 писал(а):

Серьезных нет. Есть только несерьезная: побыстрее отучить студиозусов от излишней геометризации. От идей типа "вектор = направленный отрезок". И от вопросов типа заглавного в теме.

Геометризация должна быть корректной. Вектор - это параллельный перенос :)

[Munin]

provincialka

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1057407 писал(а):

Догадываетесь, какое выдается "решение"?

Нет, не догадываюсь. А их тут можно придумать больше одного? $m\bigl(A\cup(B\setminus A)\bigr) =m(A) + m(B\setminus A).$

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1057407 писал(а):

Догадываетесь, какое выдается "решение"?

Что-нибудь в духе "Первое множество больше второго, а значит, и мера у него больше"?

[provincialka]

Munin, Anton_Peplov победил!

[Munin]

Да. Смешно. А при чём тут вообще геометрия?

[provincialka]

Munin
Если была бы при чем, я не убрала бы в оффтоп. Это просто пример недостаточно абстрактного мышления