2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выпуклый четырёхугольник с необычной точкой внутри
Сообщение26.09.2015, 02:11 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Существует ли такие выпуклый четырёхугольник и точка $P$ внутри него, что сумма расстояний от $P$ до вершин больше периметра четырёхугольника?

У меня контрпример такой: трапеция с координатами $(0, 0),\quad (69, 0),\quad (69, 1),\quad (68, 1)$ и точка внутри неё, расположенная достаточно близко к вершине $(0, 0)$.

Полагаю, что в общем случае сумма расстояний от $P$ до вершин не может превышать периметр в полтора или более раз. Это так? Если да, то как это доказать?

Пожалуйста, помогите решить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклый четырёхугольник с необычной точкой внутри
Сообщение26.09.2015, 03:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
В общем случае берется выпуклый 4-угольник, у которого 2 смежные (и равные стороны) ну оооооооооочень длиннее, чем другие две. Периметр этого прямоугольника практически равен сумме длин тех двух сторон, скажем 2$a$.
Соответственно, взяв точку ооооочень близко к вершине, образованной длинными сторонами, получим расстояния от нее до вершин $\approx$ 3$a$. Отсюда Ваши 3/2. Исессно, строгое формальное доказательство существенно занудней.

Есть похожая задача про два тетраэдра, вложенных один в другой. Надо доказать, что длина ребер внутреннего не превоcxодит 4/3 длин ребер внешнего.
Доказываются практически одинаково.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклый четырёхугольник с необычной точкой внутри
Сообщение26.09.2015, 08:30 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Dan B-Yallay
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group