2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Сообщение24.09.2015, 19:56 
Доброго времени суток! Помогите, пожалуйста.
Задание:
Дана квадратичная форма: $4x_1x_2+4x_1x_2+4x_2x_3$
Привести к каноническому виду, записать преобразование в развернутом и матричном видах, сделать проверку в матричной форме.
Мое решение
Выполним преобразование, чтобы избавиться от нулей на главной диагонали:
$x_1=y_1$
$x_2=y_2$
$x_3=y_1+y_2+y_3$
Следовательно, матрица преобразования будет:
$X^{T}$=$$\begin{pmatrix}
 1&0&0 \\
 0 &1&0\\
 1 &1 &1
\end{pmatrix}$$
Подставил данные значения и получил матрицу квадратичной формы:
$$\begin{pmatrix}
 4&6&2\\
6&4&2\\
2 & 2 & 0
\end{pmatrix}$$
С помощью преобразований с ортогональной матрицей получаю вторую матрицу преобразования:
$Y^{T}$=$$\begin{pmatrix}
 1&0  &0 \\
 -3/2&  1& 0\\
 -1/5& -1/5 &1 
\end{pmatrix}$$
Общая матрица преобразования равна произведению матриц двух преобразований? :
$C^{T}=
$$\begin{pmatrix}
X^{T} 
\end{pmatrix}$$\cdot\begin{pmatrix}
Y^{T}
\end{pmatrix}$
Просто при проверке с помощью $Z=C^{T}AC$ верного ответа не получается. Подскажите, что я делаю не правильно? Заранее благодарен.

 
 
 
 Re: Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Сообщение24.09.2015, 20:26 
Почему бы вам не использовать метод Лагранжа?

san_raise в сообщении #1056333 писал(а):
Следовательно, матрица преобразования будет:
$X^{T}$=$$\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0 &1&0\\
1 &1 &1
\end{pmatrix}$$
Видимо, вы имеете в виду: $x=X^Ty.$
san_raise в сообщении #1056333 писал(а):
С помощью преобразований с ортогональной матрицей получаю вторую матрицу преобразования:
$Y^{T}$=$$\begin{pmatrix}
1&0  &0 \\
-3/2&  1& 0\\
-1/5& -1/5 &1 
\end{pmatrix}$$
Видимо, вы имеете в виду: $y=Y^Tz.$

Итого: $x=X^TY^Tz.$

Была форма $x^TAx:$ подставляя, получим $zYXAX^TY^Tz.$

Если у вас это произведение недиагонально, то вы где-то не так посчитали.

Так почему бы не использовать метод Лагранжа?

 
 
 
 Re: Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Сообщение24.09.2015, 22:10 
Slav-27
Спасибо. Скажите, пожалуйста, как можно решить методом Лагранжа, если нет ведущих?

 
 
 
 Re: Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Сообщение25.09.2015, 06:06 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Если хочешь быть счастливым - будь им
san_raise в сообщении #1056379 писал(а):
если нет ведущих

создайте их. Вам поможет тождество $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$

 
 
 
 Re: Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Сообщение25.09.2015, 08:54 
Аватара пользователя
san_raise в сообщении #1056379 писал(а):
Скажите, пожалуйста, как можно решить методом Лагранжа, если нет ведущих?

Так вы же их создали:
Slav-27 в сообщении #1056344 писал(а):
Выполним преобразование, чтобы избавиться от нулей на главной диагонали:
$x_1=y_1$
$x_2=y_2$
$x_3=y_1+y_2+y_3$

:shock:

 
 
 
 Re: Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Сообщение27.09.2015, 19:08 
bot
Brukvalub
Большое спасибо, разобрался :D

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group