Метод функций Грина

[r0ma]

Скажите, пожалуйста, вот есть линейное диф. уравнение типа $\nabla^2 f(x) = g(x)$. Правильно ли я понимаю, что его можно решать следующим образом: для начала находится функция Грина, т.е. решается уравнение вида $\nabla^2 G(x) = \delta (x)$ и находится функция $G(x)$. А далее, чтобы найти исходную функцию $f(x)$ делается свёртка гриновской функции с правой частью, т.е. берётся интеграл вида

$$f(x) = \int g(x)\бG(x-x') dx.$$

Это верно?

[Brukvalub]

Выходит, если справа в уравнении поставить нуль, то докажется, что все гармонические функции - тождественно равны 0?

[ewert]

Кроме того: если это и верно, то разве что в теории. Функцию Грина в явном виде всё равно не найти, а если б и нашли -- умучались бы потом считать с ней свёртку.

[Munin]

Ну не всегда. Для некоторых задач функцию Грина не только можно найти, но даже и найти в справочниках. Ну а свёртку считать - да хоть численно, это тоже бывает существенно проще, чем решать дифур с нуля.

[r0ma]

Ну да, конечно, это верно. Что-то рассудок помутился. Зачем спрашивал, прямой подстановкой проверяется ж.

Brukvalub в сообщении #1056230 писал(а):

Выходит, если справа в уравнении поставить нуль, то докажется, что все гармонические функции - тождественно равны 0?

Спокойно. Не надо так за гармонические функции переживать. С ними всё хорошо.

Munin писал(а):

Ну а свёртку считать - да хоть численно, это тоже бывает существенно проще

У меня как раз такая ситуация.

[ewert]

r0ma в сообщении #1056385 писал(а):

У меня как раз такая ситуация.

Значит, у Вас или шар, или круг. Вы -- сектант.

Но даже и в этом случае считать кратные интегралы с особенностями -- нерадостно.

[Утундрий]

ewert в сообщении #1056397 писал(а):

даже и в этом случае считать кратные интегралы с особенностями -- нерадостно.

ГИУ же...

[r0ma]

ewert в сообщении #1056397 писал(а):

Значит, у Вас или шар, или круг. Вы -- сектант.

Но даже и в этом случае считать кратные интегралы с особенностями -- нерадостно.

С сектантством спорить не буду, но что касается симметрии, то она цилиндрическая. По $r$ простирается от $0$ до $+\infty$. NIntegrate в Математике свёртку вроде берёт без особых проблем. Аналитически, конечно, я понятия не имею как этого монстра считать.

[amon]

r0ma в сообщении #1056582 писал(а):

что касается симметрии, то она цилиндрическая

Если $g$ не зависит от угла, то ответ сразу пишется в квадратурах (потенциал провода, неравномерно заряженного по $\rho$), и функции Грина вроде как не нужны. Или я чего-то не понял?