Приведение квадратичной формы к каноническому виду

[san_raise]

Доброго времени суток! Помогите, пожалуйста.
Задание:
Дана квадратичная форма: $4x_1x_2+4x_1x_2+4x_2x_3$
Привести к каноническому виду, записать преобразование в развернутом и матричном видах, сделать проверку в матричной форме.
Мое решение
Выполним преобразование, чтобы избавиться от нулей на главной диагонали:
$x_1=y_1$
$x_2=y_2$
$x_3=y_1+y_2+y_3$
Следовательно, матрица преобразования будет:
$X^{T}$=

$$\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0 &1&0\\ 1 &1 &1 \end{pmatrix}$$

Подставил данные значения и получил матрицу квадратичной формы:

$$\begin{pmatrix} 4&6&2\\ 6&4&2\\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$

С помощью преобразований с ортогональной матрицей получаю вторую матрицу преобразования:
$Y^{T}$=

$$\begin{pmatrix} 1&0 &0 \\ -3/2& 1& 0\\ -1/5& -1/5 &1 \end{pmatrix}$$

Общая матрица преобразования равна произведению матриц двух преобразований? :
$C^{T}= $$\begin{pmatrix} X^{T} \end{pmatrix}$$\cdot\begin{pmatrix} Y^{T} \end{pmatrix}$
Просто при проверке с помощью $Z=C^{T}AC$ верного ответа не получается. Подскажите, что я делаю не правильно? Заранее благодарен.

[Slav-27]

Почему бы вам не использовать метод Лагранжа?

san_raise в сообщении #1056333 писал(а):

Следовательно, матрица преобразования будет:
$X^{T}$=

$$\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0 &1&0\\ 1 &1 &1 \end{pmatrix}$$

Видимо, вы имеете в виду: $x=X^Ty.$

san_raise в сообщении #1056333 писал(а):

С помощью преобразований с ортогональной матрицей получаю вторую матрицу преобразования:
$Y^{T}$=

$$\begin{pmatrix} 1&0 &0 \\ -3/2& 1& 0\\ -1/5& -1/5 &1 \end{pmatrix}$$

Видимо, вы имеете в виду: $y=Y^Tz.$

Итого: $x=X^TY^Tz.$

Была форма $x^TAx:$ подставляя, получим $zYXAX^TY^Tz.$

Если у вас это произведение недиагонально, то вы где-то не так посчитали.

Так почему бы не использовать метод Лагранжа?

[san_raise]

Slav-27
Спасибо. Скажите, пожалуйста, как можно решить методом Лагранжа, если нет ведущих?

[bot]

(Оффтоп)

Если хочешь быть счастливым - будь им

san_raise в сообщении #1056379 писал(а):

если нет ведущих

создайте их. Вам поможет тождество $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$

[Brukvalub]

san_raise в сообщении #1056379 писал(а):

Скажите, пожалуйста, как можно решить методом Лагранжа, если нет ведущих?

Так вы же их создали:

Slav-27 в сообщении #1056344 писал(а):

Выполним преобразование, чтобы избавиться от нулей на главной диагонали:
$x_1=y_1$
$x_2=y_2$
$x_3=y_1+y_2+y_3$

[san_raise]

bot
Brukvalub
Большое спасибо, разобрался