Теорема Вейля

[bayah]

В статье о законе Бенфорда на Википедии (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0 ... 0%B4%D0%B0)
есть ссылка на статью Арнольда о статистике первых цифр ( http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/01/kv0198arnold.pdf )

Вопрос в следующем:
Что-то я не могу понять аналогию про движение точки по окружности.



О каких именно дугах окружности идет речь? И почему поясняющий рисунок не отражает движения точки, а точки сразу перескакивают из одного положения в другое?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: содержание темы не находится в теме

bayah
Согласно правилам форума, содержание темы должно быть изложено непосредственно в самой теме, а по ссылкам должен быть только дополнительный материал, не обязательный для понимания существа темы.
Приведите интересующий Вас кусок в виде цитаты в теме.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[grizzly]

bayah
А как "скачет" $\{nx\}$ по единичному отрезку, Вам понятно? И почему оно равномерно заполнит отрезок тоже? Вот эта окружность -- тот же отрезок, в котором начало и конец соединили. (Сложно понять, в чём Ваше затруднение, увы.)
Вот ещё песенка для наглядности

Макаревич в старой песенке писал(а):

И я стрелу любви вынимаю и поднимаю лук.
И прямизну тетивы ломаю, и лук сгибается в круг.
Вот ближе и ближе было и будет, и вроде, моя взяла,
Но пальцы сорвались, как в пропасть люди, и в вечность ушла стрела.

[bayah]

grizzly в сообщении #1053549 писал(а):

bayah
А как "скачет" $\{nx\}$ по единичному отрезку, Вам понятно? И почему оно равномерно заполнит отрезок тоже? Вот эта окружность -- тот же отрезок, в котором начало и конец соединили. (Сложно понять, в чём Ваше затруднение, увы.)

Непонятно, чему аналогично время в это закольцованной аналогии.
По самой теореме тоже не понятно, но я и не задавался к ней вопросом пока. Ну то есть формулировку-то я вроде бы понимаю)
А что, если число не иррациональное, то аналогичная последовательность дробных частей не будет так же равномерно распределена на интервале?

[Nemiroff]

bayah в сообщении #1053608 писал(а):

А что, если число не иррациональное, то аналогичная последовательность дробных частей не будет так же равномерно распределена на интервале?

Почитайте про поворот окружности. Если поворот производится на иррациональный угол, то при итерации поворотов орбита любой точки всюду плотна на окружности. А если угол поворота рациональный, то орбита --- конечное множество.

[grizzly]

bayah в сообщении #1053608 писал(а):

А что, если число не иррациональное, то аналогичная последовательность дробных частей не будет так же равномерно распределена на интервале?

Вы просто какие-то слова неправильно понимаете. Иначе такой вопрос у Вас просто не смог бы возникнуть. Я вот Вам на примере. Пусть $x=1/4$; тогда из той последовательности вообще ничего не попадёт в интервал $(0.1;0.2)$. Какое же это равномерное распределение?

[bayah]

grizzly в сообщении #1053613 писал(а):

Вы просто какие-то слова неправильно понимаете. Иначе такой вопрос у Вас просто не смог бы возникнуть. Я вот Вам на примере. Пусть $x=1/4$; тогда из той последовательности вообще ничего не попадёт в интервал $(0.1;0.2)$. Какое же это равномерное распределение?

Я понимал равномерное распределение как одинаковые интервалы между членами последовательности. Хотя это тоже тогда бессмысленно, так как при это будет выполняться для любого числа.
Так... Тогда равномерное распределение что значит? Бесконечно плотно расположенные элементы последовательности? Ну тогда кажется даже интуитивно понятно, что последовательность из иррационального числа будет заполнять иметь такое распределение.

Или я не правильно понял?

[grizzly]

bayah в сообщении #1053799 писал(а):

Тогда равномерное распределение что значит?

Ответ на этот вопрос расшифрован в первом предложении после формулировки Теоремы во вложенной Вами статье. Вам просто нужно внимательно прочитать это пояснение -- в нём нет ничего сложного для понимания, даже если так кажется на первый взгляд.

bayah в сообщении #1053799 писал(а):

Бесконечно плотно расположенные элементы последовательности?

Не только всюду плотное заполнение. Нужно чтобы оно было ещё одинаково плотным (в некотором смысле, который поясняется в указанном выше предложении), на каждом участке.

bayah в сообщении #1053799 писал(а):

Ну тогда кажется даже интуитивно понятно, ...

Это хорошо. Но лучше подкреплять свою интуицию точным пониманием терминов и попытками доказательства.
Вот Вам пример плотной, но не равномерно распределённой последовательности: $\{\ln(n)\}, n\ge 1$ (здесь тоже рассматриваем дробные части). Это уже чуть сложнее для интуиции.

[bayah]

grizzly в сообщении #1053807 писал(а):

Это хорошо. Но лучше подкреплять свою интуицию точным пониманием терминов и попытками доказательства.
Вот Вам пример плотной, но не равномерно распределённой последовательности: $\{\ln(n)\}, n\ge 1$ (здесь тоже рассматриваем дробные части). Это уже чуть сложнее для интуиции.

А почему кстати эта последовательность неравномерная?

[ИСН]

По закону Бенфорда. Сколько чисел у нас имеют логарифмы от 3 до 3.5? А сколько - от 3.5 до 4?

[grizzly]

bayah в сообщении #1056164 писал(а):

А почему кстати эта последовательность неравномерная?

Посмотрите лучше на графики распределения здесь (первые графики на странице).

-- 24.09.2015, 11:58 --

ИСН в сообщении #1056208 писал(а):

По закону Бенфорда. Сколько чисел у нас имеют логарифмы от 3 до 3.5? А сколько - от 3.5 до 4?

Нет, закон Бенфорда не имеет отношения к рассматриваемой неравномерности. Здесь проблема в другом. Если на пальцах, то разница между $\ln(n+1)$ и $\ln(n)$ становится очень маленькой и на больших промежутках действует очень долго, сгущая один из подынтервалов. А через очень много шагов начинает сгущать другой подынтервал. И так по циклу, но очень сильно неравномерному. Вот эта неравномерность циклов и создаёт проблему. При этом никакой из подынтервалов не имеет глобальных привилегий в отличие от ситуаций с законом Бенфорда.

-- 24.09.2015, 12:16 --

Объяснение на пальцах получилось у меня не очень -- интуитивное понимание иногда сложно поддаётся вербализации. Попробую немного иначе. После каждого полного цикла на очередном новом количество подпитки любого подынтервала несравнимо больше, чем было на всех предыдущих циклах вместе взятых. Это и создаёт ту нерегулярность, про которую я пытался говорить.

[ИСН]

А, да, точно. Она никогда не устаканится, потому что каждая следующая волна перекрывает все предыдущие. Но если бы устаканивалась, то у неё была бы шерсть, и в ней водились бы Бенф...