Уравнение в факториальных простых числах

[Ktina]

Факториальным простым числом называется простое число, на единицу меньшее или на единицу большее факториала.
Решить в факториальных простых числах уравнение:

$$a+4=b^c$$

[gris]

В глаза бросается $(23,3,3)$.
Единичку не признали простым числом?

[Ktina]

gris
А в какое место бросается $(5, 3, 2)$?

-- 22.09.2015, 01:39 --

gris в сообщении #1055737 писал(а):

Единичку не признали простым числом?

(Оффтоп)

Надо будет Ханечку с Ксюшенькой попросить, чтобы законопроект выдвинули по признанию числа 1 простым

Кстати, если бы и признали, это мало бы помогло.

[gris]

Почему мало? Появилось бы ещё два решения: $(1,5,1);\, (3,7,1)$.
Похоже, что из-за делимости $b=5$ или $b=3$. Вдруг больше нет решений из-за этого?

[Ktina]

gris
Там всё проще гораздо. Думаю, можно пятиклассницам давать, если знают, что такое факториал.

[iancaple]

$n!+3$ "обычно" делится на 3, а $n!+5$ на 5 ?

[Ktina]

Факториалы всех натуральных чисел, больших 9, делятся на 9 и на 25. Таким образом $a+4$ будет либо давать остаток 3 при делении на 9, либо остаток 5 при делении на 25, а это означает, что там решений не будет.

$9!$ делится на 9 и оканчивается на 80, значит, $a+4$ (если бы оно было) либо давало бы остаток 3 при делении на 9, либо остаток 10 при делении на 25. Снова противоречие.

$8!$ делится на 9. А $8!+5$ делится на 25, но не на 125, значит, если и будет степенью, то только квадратом. Но квадратом оно быть не может в силу остатка 2 при делении на 3.

$7!$ делится на 9 и оканчивается на 40, значит, $a+4$ либо даёт остаток 3 при делении на 9, либо остаток 20 при делении на 25. Снова противоречие.

$6!$ делится на 9. А число 721 не простое, так как делится на 7.

Факториальные простые числа, меньшие 719, это 2, 3, 5, 7 и 23.
Непосредственная проверка даёт все решения:
$(5, 3, 2),\quad (23, 3, 3)$