Предел

[GrandCube]

Подскажите пожалуйста, как решаются пределы такого вида:

$$\lim\limits_{x\to-\infty}^{}(\ln({3e^{-x}-\frac{x}{2}})-\frac{1-4x}{4})$$

Я привел к виду $$\lim\limits_{x\to-\infty}^{}(\ln({3-\frac{e^{x}x}{2}) - \frac{1}{4})
Вопрос, собственно, вот в чем: что в таких случаях делать с натуральным логарифмом? Правило Лопиталя здесь вряд ли поможет, а замена на эквивалентную при таких икс нельзя вроде бы провести.

[Brukvalub]

А чему равен $$\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{e^{x}x}{2}?

[GrandCube]

Brukvalub в сообщении #1055635 писал(а):

А чему равен $$\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{e^{x}x}{2}?

Понятно, что 0, но вот как доказать, я еще не знаю. Может, здесь нужно перейти от неопределенности $0\cdot(-\infty)$ к неопределенности вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$? То есть $\frac{e^{x}}{\frac{2}{x}}$? Но что дальше? Насколько я понимаю, для таких неопределенностей метод Лопиталя существует, но он тут бесполезен, по-моему.

[Brukvalub]

GrandCube в сообщении #1055656 писал(а):

Насколько я понимаю, для таких неопределенностей метод Лопиталя существует, но он тут бесполезен, по-моему.

Как узнали, что метод бесполезен? Догадались с трех раз?

[GrandCube]

Brukvalub в сообщении #1055661 писал(а):

GrandCube в сообщении #1055656 писал(а):

Насколько я понимаю, для таких неопределенностей метод Лопиталя существует, но он тут бесполезен, по-моему.

Как узнали, что метод бесполезен? Догадались с трех раз?

Надо было представить в виде $\frac{x}{\frac{1}{e^{x}}}$? Если так, то ясно, извините, очевидное пропустил

[Ms-dos4]

GrandCube
Каким образом в экспоненте появилось $\[\frac{1}{x}\]$?

[Olivka]

Ms-dos4, это вы его туда засунули. В исходном утверждении была на самом деле многоэтажная дробь.

GrandCube, Лопиталь здесь будет полезен, надо только красиво записать выражение.

[ewert]

GrandCube в сообщении #1055628 писал(а):

Подскажите пожалуйста, как решаются пределы такого вида:

$$\lim\limits_{x\to-\infty}^{}(\ln({3e^{-x}-\frac{x}{2}})-\frac{1-4x}{4})$$

В первую очередь -- методом научного тыка (если, конечно, абстрагироваться от того, что пределы вообще нигде и никогда не решаются).

Т.е. в первую очередь надо заметить, что экспонента откровенно забивает икс пополам, и прикинуть, что из этого выйдет. Это -- в первом приближении; а дальше остаётся эту эвристику лишь формализовать. В данном случае откровенно напрашивается вынести экспоненту за скобки, разбить логарифм на сумму двух и оценить "маленький" из них по Тейлору. Ну или по 2-му зампределу, если Тейлор на данный момент считается невместен. Но уж точно не по Лопиталю: для этой ситуации он -- явное извращение.

-- Вт сен 22, 2015 01:42:41 --

GrandCube в сообщении #1055628 писал(а):

Я привел к виду $$\lim\limits_{x\to-\infty}^{}(\ln({3-\frac{e^{x}x}{2}) - \frac{1}{4})
Вопрос, собственно, вот в чем: что в таких случаях делать с натуральным логарифмом?

Я, как обычно, поленился прочитать всю ветку. Ответ: вынесите ещё и тройку за скобки, дальше должно быть очевидно.

(но только, боже упаси: без лопиталей!)