Любопытное равенство

[grizzly]

Несложная задачка, но выглядит весьма оригинально на фоне засилья неравенств в этом разделе :)

Пусть $a+b+c=0$. Доказать, что:

$$ \dfrac{a^7+b^7+c^7}{7}=\dfrac{a^4+b^4+c^4}{2}\cdot \dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}. $$

(Вопрос на засыпку к специалистам по неравенствам)

Вот ошибочное задание из того же (вполне себе заслуживающего доверия) источника:

$$ \frac{x^n}{x^m+y^m}+\frac{y^n}{y^m+z^m}+\frac{z^n}{z^m+x^m}\geq \frac{3} {2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n-m} $$

Здесь $n>m\ge 0$, $xy+yz+xz=1$.
Мне любопытно, что обычно проще -- доказать такое вот весьма правдоподобное неравенство (если оно справедливо) или найти контрпример к такому вот (тоже правдоподобно выглядящему) ошибочному? Понятно, что зависит от, но допустим, что это "при прочих равных" -- если кто-то сможет поделиться интересными мыслями, буду признателен (не я один, надеюсь).

Источники с "историей болезни" раскрою чуть позже.

[iancaple]

Обозначим $S_n=a^n+b^n+c^n$, $S_0=3,S_1=0$ Пусть уравнение, корнями которого являются $a,b,c$ имеет вид $x^3=-qx+r$
$x^n=-qx^{n-2}+rx^{n-3}(n\geq 3)$
$S_n=rS_{n-3}-qS_{n-2}$
$S_2=-2(ab+ac+bc)=-2q$
$S_3=-qS_1+rS_0=3r$
$S_4=rS_1-qS_2=2q^2$
$S_5=rS_2-qS_3=-2qr-3qr=-5qr$
$S_7=rS_4-qS_5=2q^2r+5q^2r=7q^2r$
Окончательно $\frac{S_7}7=q^2r=\frac{S_4}2\cdot\frac{S_3}3(=\frac{S_2}2\cdot\frac{S_5}5)$

[grizzly]

iancaple
Спасибо! Когда популярность олимпиадного раздела вырастет в пару раз за счёт внешних посетителей, нужно будет выделить в нём отдельный подраздел (или тег задач) для менее опытных участников

(Оффтоп)

Про обещанные источники. Обе задачи подсмотрены в этом журнале. Задача из оффтопа обсуждалась здесь и по указанной там ссылке на MOF дан контрпример.

[Коровьев]

Аналогичная задачка из сборника Фаддеева.
Пусть $a+b+c+d=0$. Доказать, что:

$$ \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\cdot \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}. $$

[Edward_Tur]

topic27493.html

[iancaple]

Коровьев в сообщении #1054527 писал(а):

Аналогичная задачка из сборника Фаддеева.
Пусть $a+b+c+d=0$. Доказать, что:

$$ \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\cdot \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}. $$

А это так задумано, сделать опечатку, и в двух предположениях, где она, получить две хороших задачки? предлагаю легких путей не искать и доказать, что

$$ \dfrac{a^5+b^5+c^5+d^5}{5}=\dfrac{a^3+b^3+c^3+d^3}{3}\cdot \dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}. $$

У меня получилось, что верно, но подожду других решений.

[Sergic Primazon]

iancaple в сообщении #1054662 писал(а):

Коровьев в сообщении #1054527 писал(а):

Аналогичная задачка из сборника Фаддеева.
Пусть $a+b+c+d=0$. Доказать, что:

$$ \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\cdot \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}. $$

А это так задумано, сделать опечатку, и в двух предположениях, где она, получить две хороших задачки? предлагаю легких путей не искать и доказать, что

$$ \dfrac{a^5+b^5+c^5+d^5}{5}=\dfrac{a^3+b^3+c^3+d^3}{3}\cdot \dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}. $$

У меня получилось, что верно, но подожду других решений.

пусть $a,b,c,d$ корни : $t^4 +qt^2-rt+f=0$

Тогда : $a^5+b^5+c^5+d^5= -5qr$ , $a^3+b^3+c^3+d^3=3r$ , $a^2+b^2+c^2+d^2=-2q$

[grizzly]

Edward_Tur в сообщении #1054617 писал(а):

http://dxdy.ru/topic27493.html

Ну вот, а я не знал, что эта задача настолько старая :)
Я на форуме не так давно, а поиск в таких условиях помогает слабо (я даже не попробовал). Я только пытаюсь использовать нераспространённые источники, но ведь мир прекрасного так тесен.
Я хотел бы собрать лучшие из нерешённых задач этого раздела и поместить их в одну тему типа "мат.цитатника" (не для обсуждения, а только для облегчения доступа к самим темам). А заодно и пополнять её (с помощью клуба) ссылками на самые красивые / интересные задачи и решения. Больно смотреть, если красивое начинает пропадать втуне.

[Коровьев]

iancaple в сообщении #1054662 писал(а):

А это так задумано, сделать опечатку, и в двух предположениях

Это моя невнимательность.

[Sergic Primazon]

grizzly в сообщении #1054062 писал(а):

Вот ошибочное задание из того же (вполне себе заслуживающего доверия) источника:

$$ \frac{x^n}{x^m+y^m}+\frac{y^n}{y^m+z^m}+\frac{z^n}{z^m+x^m}\geq \frac{3} {2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n-m} $$

Здесь $n>m\ge 0$, $xy+yz+xz=1$.

Наверняка предлагалось доказать следующее неравенство:

$$\frac{x^n}{y^m+z^m}+\frac{y^n}{z^m+x^m}+\frac{z^n}{x^m+y^m}\geq \frac{3} {2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n-m}$$

$n $ и $m$ - целые, $n>m\ge 0$, $xy+yz+xz=1$ $(x,y,z >0)$

[grizzly]

Sergic Primazon в сообщении #1054915 писал(а):

Наверняка предлагалось доказать следующее неравенство:
...

Ух ты! То есть, подправленное Вами неравенство выполняется? Тогда это, вероятнее всего, просто механическая ошибка при наборе формулы. И несложно предположить, как в премодерируемую конкурсную задачу могла закрасться такая ошибка.

(О собственном промахе с положительностью переменных я скромно умолчу :)

[Sergic Primazon]

grizzly в сообщении #1054925 писал(а):

Sergic Primazon в сообщении #1054915 писал(а):

Наверняка предлагалось доказать следующее неравенство:
...

То есть, подправленное Вами неравенство выполняется?

Да , это неравенство точно верно)