Квантование момента

[Sicker]

(Оффтоп)

Тем более, что он не дискретен....

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #1054488 писал(а):

Этот ответ на тривиальную задачу $\partial_\theta \Psi (r,\theta )=\lambda \Psi (r,\theta )$ записанную в полярных координатах, где дискретность спектра возникает из условия однозначности $\Psi(r,\theta)=\Psi(r,\theta+2\pi)$.

Кажется, вы так и не поняли, дискретности там не возникает.

Я, правда, тоже ещё не понял :-)

[Red_Herring]

Нет, на окружности дискретность возникает. А вот если рассмотреть плоскость то после разделения переменных $L^2(\mathbb{R}^2)$ превращается в $L^2(\mathbb{S})\otimes L^2(\mathbb{R}^+,r)$ где второе—весовое с весом $r$ (потому что элемент площади в полярных координатах $r dr d\theta$, а оператор $-i\hbar\partial _\theta \otimes I \oplus I \otimes 0$ и поэтому кратность каждого с.з. $-i\hbar\partial _\theta$ (т.е. 1) умножается на размерность второго пространства (т.е $\infty$) и спектр, хотя и остается точечным будет бесконечнократным (т.е. по определению не дискретным).

Чтобы ощутить разницу можно возмутить этот оператор: тогда дискретное с.з. распадется на кластер конечного числа простых с.з., а бесконечномерное точечное—на кластер бесконечного числа простых с.з. (мы говорим об "общего положения" т.е. generic возмущении).

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1054589 писал(а):

спектр, хотя и остается точечным будет бесконечнократным (т.е. по определению не дискретным).

А, вот оно как. То есть, это то, что физики называют "дискретным", но для вас оно по-другому называется, так?

-- 18.09.2015 17:54:08 --

Red_Herring в сообщении #1054589 писал(а):

Чтобы ощутить разницу можно возмутить этот оператор: тогда дискретное с.з. распадется на кластер конечного числа простых с.з., а бесконечномерное точечное—на кластер бесконечного числа простых с.з. (мы говорим об "общего положения" т.е. generic возмущении).

А вот такой вопрос. Этот кластер всегда будет неограниченным, или нет? В случае возмущения "общего положения".

[ИгорЪ]

Бред какой. Итак проекция момента имеет дискретный спектр если частица ограничена на окружности. Как быть с атомом водорода? Там проекция квантуется, даже химики знают это. Электрон что ограничен на окружности? Дорогие, я вообще про абстрактный оператор говорю!

[amon]

ИгорЪ в сообщении #1054604 писал(а):

Бред какой.

Ну, давайте еще я попробую. Рассмотрим оператор импульса вдоль направления, не совпадающего с декартовыми осями. В фиксированных осях он выглядит как

$$\hat{P}=-i\left(\alpha\frac{\partial}{\partial x}+\beta\frac{\partial}{\partial y}\right).$$

И как, по-вашему, выглядит собственная функция такого оператора? (Оси поворачивать запрещено!)

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1054594 писал(а):

А вот такой вопрос. Этот кластер всегда будет неограниченным, или нет? В случае возмущения "общего положения".

Это смотря чем возмущать. Общее положение — это в каком-то достаточно обширном классе.

Пример: рассмотрим 2-мерный Шрёдингер с постоянным магнитным и 0 электрическим полем:

$$H=\frac{1}{2}\Bigl((-i\hbar\partial_x -By)^2 - \hbar^2\partial_y^2\Bigr)$$

Унитарным преобразованием (на самом деле даже метаплектическим) он приводится к виду

$$H=\frac{1}{2}B\hbar\Bigl(-\partial_x^2 + x^2\Bigr)$$

тоже в $L^2(\mathbb{R}^2$. Вроде как гармонический осциллятор со спектром полуцелых кратных $B\hbar$. Но опять таки надо помнить что это не в $L^2(\mathbb{R})$, а в $L^2(\mathbb{R}^2)$, т.е. есть вторая переменная которая однако в операторе никак себя не проявляет, но превращает кратность с.з. в бесконечность. Т.е. опять таки спектр чисто точечный бесконечнократный. Это спектр Ландау. (Если б оператор был трехмерный, то каноническая форма была бы

$$H=\frac{1}{2}B\hbar\Bigl(-\partial_x^2 + x^2\Bigr)-\frac{1}{2}\partial_z^2$$

и спектр бы был абсолютно непрерывным, но бесконечнократным).

А теперь возмутим 2мерный оператор электрическим потенциалом быстро убывающим на бесконечност (а то и вообще сосредоточенным на компакте). Бесконечно кратные с.з. развалятся, превратившись в последовательности с.з. стремящихся к уровням Ландау и есть работы вычисляющие асимптотику этих последовательностей.

Другой пример: Лапласиан на сфере. Там с.з. конечно конечнократные, но их кратности растут (такая вот потенциальная бесконечность). Возмутив потенциалом (вариант—антисимметрическим потенциалом) получим кластеры (соответственно очень тесные кластеры) и можно исследовать асимптотическое распределение с.з. внутри кластеров с большими номерами.

-- 18.09.2015, 14:07 --

Munin в сообщении #1054594 писал(а):

То есть, это то, что физики называют "дискретным", но для вас оно по-другому называется, так?

Изолированные собственные значения конечной кратности составляют дискретный спектр. Весь остальной спектр—существенный.
В частности, с.з. бесконечной кратности принадлежат существенному спектру.

Существенный спектр выдерживает возмущение оператора компактным (мы говорим только о самосопряженных операторах). Дискретный—нет.

-- 18.09.2015, 14:08 --

amon в сообщении #1054652 писал(а):

Ну, давайте еще я попробую.

Цитата:

Пусть пробуют они, я лучше пережду.

[Munin]

Red_Herring
То есть, я так понял, в вашем первом примере кластер бесконечный, но счётный, не континуальный?

По терминам понятно, спасибо. Просто для этого сначала надо всех физиков переучивать, потому что со школы, с ЛЛ-3, все запомнили другую терминологию.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1054700 писал(а):

То есть, я так понял, в вашем первом примере кластер бесконечный, но счётный, не континуальный?

Ну где же в счётномерном пространстве взять несчётное количество с.з. Но если хочется уровень Ландау размазать в кусочек непрерывного спектра то это несложно: просто потенциал должен быть маленьким, но к 0 на бесконечности не стремится. Впрочем, интересной науки здесь не ожидается. т.ч. никто вроде и не изучал. Вот кластер с.з.—дело совсем другое!

То, что с.з. в однородном случае м.б. только бесконечнократными очевидно и без вычислений: этот оператор выдерживает сдвиги, сопровождаемые подходящими калибровочными преобразованиями, а этого ни одно конечномерное пространство не выдержит поскольку там функции стремятся к 0 на бесконечности равностепенно (стремление к 0 на бесконечности в данном случае означает, что интегралы по дополнению к шару радиуса $R$ с центром в 0 от квадрата абсолютной величины стремятся к 0, когда $R\to \infty$.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1054736 писал(а):

Ну где же в счётномерном пространстве взять несчётное количество с.з.

А. А давайте возьмём такое пространство, в котором свободная частица имеет непрерывный спектр? Это будет уже несчётномерное?

Меня, собственно, интересует, при внесении возмущения этот кластер "взрывается" как-то сразу и далеко, или медленно и контролируемо? А то, в первом случае можно перестать доверять расчёту, основанному на точном решении без возмущения. Физически перестать доверять.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1054742 писал(а):

А. А давайте возьмём такое пространство, в котором свободная частица имеет непрерывный спектр? Это будет уже несчётномерное?

Нет, конечно: $L^2(\mathbb{R})$ счетномерно, а спектром оператора умножения на $f(x)$ можно сделать произвольное замкнутое множество.

Цитата:

Меня, собственно, интересует, при внесении возмущения этот кластер "взрывается" как-то сразу и далеко, или медленно и контролируемо? А то, в первом случае можно перестать доверять расчёту, основанному на точном решении без возмущения. Физически перестать доверять.

А что такое "малое возмущение"? Если с операторной нормой меньше $\varepsilon$, так там просто: расстояние от любой точки спектра $H$ до ближайшей точки спектра $ H'$ будет меньше $\varepsilon$ и наоборот (подчёркиваю: мы говорим о самосопряженных операторах. А если возмущение неограниченный оператор так там надо доказывать конкретные теоремы, а не рассуждать вообще

[ИгорЪ]

amon
А какая связь с обсуждаемым? Ну трансляция и что?

Munin вы можете не на птичьем языке объяснить о чем спич идет с уважаемым Red_Herring

[amon]

ИгорЪ в сообщении #1054923 писал(а):

А какая связь с обсуждаемым? Ну трансляция и что?

Связь с обсуждаемым прямая, особенно если положить, что вдоль этого направления наложены периодические условия $\Psi(0,\dots)=\Psi(L,\dots)$, только решать легче.

[Munin]

Red_Herring
А. Спасибо за пояснения.

-- 19.09.2015 15:55:36 --

ИгорЪ
Речь о том, что да, с.значения углового момента - отдельные числа. Но они бесконечнократно вырождены, и поэтому на языке высокого функана называются не дискретным спектром, а существенным (и при этом, точечным).

Дальше, я пытаюсь понять, что это понятие означает, и чем оно в физических задачах грозит.

При этом, сам я этого "птичьего языка" не знаю, и осваиваю на лету.

-- 19.09.2015 16:02:01 --

Red_Herring
Ну, как пример возмущения, возьмём, например, потенциальную энергию (не зависящую от скорости), такую, что она меньше $\varepsilon,$ но никакому $L^2$ принадлежать не обязана (например, периодическая, хотя и непериодический случай интересует). Производные тоже можно ограничить.

Физическая мотивация: пусть мы уверены в том, что потенциал везде нулевой, но уверены только с какой-то точностью.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1054928 писал(а):

Ну, как пример возмущения, возьмём, например, потенциальную энергию (не зависящую от скорости), такую, что она меньше $\varepsilon,$

Ну так операторная норма в $L^2$ будет меньше чем $\|V\|_{L^\infty}$ и все как я сказал.

ИгорЪ
Когда Вы стали поминать атом водорода, ситуация сменилась. Атом водорода приходит аж с тремя коммутирующими операторами:

1) Гамильтониан $H$, т.е. оператор энергии
2) Квадрат углового момента $M^2$
3) $M_z$

Поскольку они коммутируют, то они диагонализируются одновременно и можно говорить уже о собственных значениях одного из них на собственных подпространствах другого (других). Поскольку Гамильтониан $H$ имеет только с.з. конечной хотя и большой кратности, то на этих подпространствах функан для двух других сменяется банальной линейной алгеброй и там уже спектры дискретны. А в первоначальном пространстве нет.


ЛЛ3. Разумеется эта книга написана очень давно и тогда физики относились к функану более разгильдяйски чем сейчас. Мне кажется маловероятным что выпускники физфака ЛГУ не знают про то, как спектры следует классифицировать (а если не знают, то призрак М.Ш.Б. является им в кошмарных снах еженощно). Ирония судьбы: уровни Ландау как раз и есть с.з. бесконечной кратности.