Обсуждение определителя

[Munin]

LionKing в сообщении #1054559 писал(а):

Если возникает новое понятие, проще обозначить его новым термом.

Как ни странно, математики с вами не согласны. Они часто обозначают понятия, схожие с другими понятиями, схожими словами. Например, объём и ориентированный объём. Или, определённый интеграл и неопределённый интеграл (а также интеграл Римана, Лебега и т. д.).

Конечно, это не абсолютное правило. Иногда, напротив, выбирается совершенно другой термин, чтобы подчеркнуть отличие одного понятия от другого, похожего. Например, производная и градиент. Или, интеграл и первообразная. Или, сюръекция и эпиморфизм.

-- 18.09.2015 16:24:47 --

grizzly в сообщении #1054573 писал(а):

Исторические корни всё равно интересны.

Да.

Но любой, кто всерьёз копнёт историю науки, столкнётся с тем фактом, что историческое развитие всегда происходило гораздо запутанней и нелогичней, чем последовательное изложение современной теории, даже если авторы такого изложения искренне полагают, что следуют "исторической последовательности".

Так что, интересоваться историей - это всегда опционально, по сравнению с освоением самой теории. И часто, чтобы достойно разобраться в истории, надо знать современную теорию уже очень хорошо, со всеми её даже малоизвестными методами и закоулками, с перекрёстными связями с другими областями, и т. п.

[LionKing]

Munin в сообщении #1054574 писал(а):

сюръекция и эпиморфизм

Между этими понятиями существует зависимость: эпиморфизм - всегда сюръекция. Но между эпиморфизмом и сюръекцией такая же разница как между гильбертовым пространством и множеством.

[Xaositect]

LionKing в сообщении #1054579 писал(а):

Между этими понятиями существует зависимость: эпиморфизм - всегда сюръекция.

Нет, например, в теории колец вложение $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ - эпиморфизм.

[LionKing]

Munin в сообщении #1054574 писал(а):

понятия, схожие с другими понятиями, схожими словами.

Это ключевой момент вашего сообщения. Я бы даже выделил его черным цветом. Если понятия подобны, то и соответствующие термы подобны. Например, вы знаете что такое дифференциальная алгебра? Представьте себе кольцо с заданным на нем морфизмом, который имеет те же свойства, что и обычная производная (относительно операций кольца, разумеется). Дык вот, такая структура называется дифференциальным кольцом, а морфизм - дифференциалом. Хотя при этом сходство только внешнее...

-- 18.09.2015, 16:47 --

Xaositect в сообщении #1054581 писал(а):

LionKing в сообщении #1054579 писал(а):

Между этими понятиями существует зависимость: эпиморфизм - всегда сюръекция.

Нет, например, в теории колец вложение $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ - эпиморфизм.

Странно... Буду знать. Хотя я был уверен, что эпиморфизм всегда сюръективен... А для вашего вложения и гомоморфизма хватит.)))

-- 18.09.2015, 16:50 --

Xaositect в сообщении #1054581 писал(а):

Нет, например, в теории колец вложение $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ - эпиморфизм.

Нет, серьезно! А почему это вложение именно эпиморфизм, а не гомоморфизм???

-- 18.09.2015, 16:53 --

Моя жизнь никогда не буде прежней... Я был уверен, что эпиморфизм - это сюръективный гомоморфизм...

-- 18.09.2015, 16:57 --

Munin в сообщении #1054574 писал(а):

Исторические корни всё равно интересны.

Дело даже не в исторических корнях. Во всяком случае я написал почему я считаю, что определять определитель как заряд очень плохо.

[Nemiroff]

Xaositect в сообщении #1054581 писал(а):

Нет, например, в теории колец вложение $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ - эпиморфизм.

Как неалгебраический пример: в Top если непрерывное отображение $f: X \rightarrow Y$ имеет плотный в $Y$ образ, то это эпиморфизм.

[LionKing]

Nemiroff в сообщении #1054585 писал(а):

Xaositect в сообщении #1054581 писал(а):

Нет, например, в теории колец вложение $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ - эпиморфизм.

Как неалгебраический пример: в Top если непрерывное отображение $f: X \rightarrow Y$ имеет плотный в $Y$ образ, то это эпиморфизм.

Хороший пример. А есть общее определение эпиморфизма? А то, я так понял, в разных случаях под эпиморфизмом подразумевается разное. В теории групп эпиморфизм - это сюръективный гомоморфизм. А-а! У меня предположение... Что если эпиморфизм - это отображение, допускающее сокращение справа???

[Nemiroff]

LionKing в сообщении #1054587 писал(а):

Что если эпиморфизм - это отображение, допускающее сокращение справа???

Именно так.
Я тут что-то черкал post943352.html#p943352

[LionKing]

Nemiroff в сообщении #1054588 писал(а):

LionKing в сообщении #1054587 писал(а):

Что если эпиморфизм - это отображение, допускающее сокращение справа???

Именно так.
Я тут что-то черкал post943352.html#p943352

Спасибо. Все ясно. И в разных категориях моно-, эпи-, и би- морфизмы будут задаваться по разному. Хотя у меня возникло устойчивое впечатление, что определители остались слишком позади и эта тема переростает в оффтоп.

[arseniiv]

LionKing в сообщении #1054582 писал(а):

Во всяком случае я написал почему я считаю, что определять определитель как заряд очень плохо.

А никто и не определяет его как заряд! Как заряд на каком множестве, хотя бы поясните. Интересно очень.

LionKing в сообщении #1054590 писал(а):

и эта тема переростает в оффтоп.

Да ну. Куда уж ей перерастать после истерик кое-какого недостаточно компетентного в том, что он высказывает, участника (не будем показывать пальцем).

[Munin]

Кстати, мне тут пришла в голову идея - не "алгебраичности", это слово уже задействовано, и я не знаю, что оно значит, - а, допустим, некоторой "алгебраизации".

Это когда мы начинаем со сложно устроенных сущностей - часто бесконечных и непрерывных - а потом заменяем их на какие-то простые обозначения этих сущностей - часто дискретные или даже конечные. Это возможно не всегда, или теряет какую-то информацию, но отброшенные случаи или отброшенная информация для нас несущественны.

Базовый пример, который крутится у меня в голове - это симплексы, как подмножества в евклидовом пространстве, vs абстрактные симплексы, которые суть просто строчки символов ("вершин"). Симплициальные комплексы, построенные из них, устроены совершенно одинаково - в топологическом смысле. Какие ещё примеры приходят в голову? Многообразие vs алгебраическое многообразие. Функция vs формула, задающая эту функцию. Дифференцирование в анализе vs дифференцирование в алгебре.

Такая "алгебраизация" должна переводить объём (или заряд) точечного пространства в нечто на алгебраической структуре (на векторном пространстве), не являющееся объёмом в прямом, аксиоматическом смысле слова, но сохраняющее его свойства.

Интересно, такая "алгебраизация" - уже известна? описана? стандартизована? как-то общеизвестно называется? Если её формулировать абстрактно, то в голову приходит, что две разные категории должны быть устроены в каком-то смысле подобно...

[LionKing]

arseniiv в сообщении #1054595 писал(а):

Как заряд на каком множестве, хотя бы поясните. Интересно очень.

Специально для жителей Молдавии объясняю - на кольце, порожденном множеством всех n-мерных параллелепипедов. Если хотите понять сам процесс, почитайте про то, как строится мера Лебега в координатном пространстве $R^n$. В общем и целом это будет как-то так. А вообще я сообщения не в воздух пишу... Если бы вы потрудились перечитать мои сообщения, у вас отпали бы все вопросы сразу... Будьте более внимательны!

-- 18.09.2015, 18:42 --

LionKing в сообщении #1054526 писал(а):

Если все же пытаться ввести определитель как заряд, сразу возникнут проблемы. Для начала нужно построить область определения такого заряда. Область определения заряда должна включать множество всех n-мерных параллелепипедов и учитывать тот факт, что заряд - конечно аддитивен. Это значит, что в качестве области определения мы должны выбрать кольцо порожденное множеством всех n-мерных параллелепипедов. Разумеется, мы не можем просто взять и выписать формулу для нашего заряда Мы должны отталкиваться от того, что:
1) он конечно аддитивен;
2) имеется эталонный n-мерный параллелепипед, для которого выписано значение заряда в явном виде.
Отталкиваясь от этих данных, мы должны вывести основные свойства определителя.

-- 18.09.2015, 18:47 --

arseniiv в сообщении #1054595 писал(а):

Да ну. Куда уж ей перерастать после истерик кое-какого недостаточно компетентного в том, что он высказывает, участника (не будем показывать пальцем).

Если вы были достаточно компетентны, чтобы написать, что я некомпетентен в том, что пишу, то у вас хватит компетентности аргументировать свое заявление. Итак, прошу...

[arseniiv]

Прекрасно. Т. е. результат такой: сначала вы утверждаете, что определитель — заряд, а потом убеждаетесь, что толку так считать нет. В принципе, можно было убедиться в этом и вне форума.

[Pphantom]

LionKing в сообщении #1054613 писал(а):

Специально для жителей Молдавии объясняю

LionKing, Вам только что уменьшили недельный бан за неуместные формы ведения дискуссии. По-видимому, это было ошибкой.

Недельный бан.