Обсуждение определителя

[Xaositect]

LionKing в сообщении #1053843 писал(а):

С некоторой геометрической мотивацией??? Вы что, рехнулись??? Вот когда вы будете рассматривать матрицы, составленные из формальных рядов/многочленов/вычетов/операторов (нужное подчеркнуть), вы просто обалдеете от геометричности определителя! Или предлагаете считать, что объем параллелепипеда может быть вектором или вообще оператором, к примеру? Неплохо, неплохо... Дети, мы нашли объем нашего n-мерного параллелепипеда и выяснили что он равен оператору Лапласа! Ну как, геометрично? А?

-- 16.09.2015, 17:39 --

Лучше определять определитель как гомоморфизм, как я и сказал ранее.

Вы серьезно не видите, что я написал ровно то, что говорили Вы? Объем - это для того, чтобы студентам с более образным мышлением было за что зацепиться, он не отменяет формального определения и написания формул.

[LionKing]

Brukvalub в сообщении #1053837 писал(а):

характеристика 2 здесь ничему не помешает

Нет, не помешает. Скажите спасибо, что я не рассматриваю модуль над кольцом.

[Deggial]

LionKing, строгое предупреждение за обвинение В.И.Арнольда в незнании алгебры и неоформление формул $\TeX$ом

LionKing в сообщении #1053843 писал(а):

С некоторой геометрической мотивацией??? Вы что, рехнулись???

LionKing, недельный бан однодневный бан за неуместные формы ведения дискуссии, близкие к оскорблению

Основное обсуждение пока оставлено в таком виде здесь. Если у кого-то есть ещё пожелания - прошу писать ЛС.

[arseniiv]

LionKing в сообщении #1053847 писал(а):

С вами все в порядке? Объем - частный случай меры, а вы окончательно запутались в терминах!

А вы прочитали ответ iifat? С чего вы взяли, что нужны объёмы произвольных множеств? Нужны объёмы параллелотопов и ничего более. И вообще, мера — частный случай множества, так что давайте сначала учить ZFC!

[Olivka]

arseniiv, судя по всему ув. LionKing не может сейчас вам ответить.

arseniiv в сообщении #1053878 писал(а):

С чего вы взяли, что нужны объёмы произвольных множеств?

А вопрос был, что делать если нужны детерминанты произвольных матриц.

[arseniiv]

Olivka в сообщении #1053891 писал(а):

судя по всему ув. LionKing не может сейчас вам ответить.

Формат форумного общения этого (т. е. прямо сейчас и никогда позже) и не требует.

Olivka в сообщении #1053891 писал(а):

А вопрос был, что делать если нужны детерминанты произвольных матриц.

Ясен пень, что произвольных. Как это противоречит тому, что остаются нужны ориентированные объёмы (или «объёмы», как кому угодно) только параллелотопов?

[Munin]

LionKing в сообщении #1053847 писал(а):

Объем - частный случай меры

Стало быть, нет. (Если не обобщать понятие меры так, чтобы она могла принимать значения, например, в полях.) Вы сами привели замечательные контрпримеры.

[LionKing]

Постараюсь изложить свою точку зрения подробно, внятно и точно настолько, насколько это у меня выйдет. Итак, с чего начать? Начать следует с терминологии. Итак, ниже будут приведены некоторые термины из ТМИ (ТМИ - теория меры и интеграла). Мера - это вещественнозначная, неотрицательная, сигма-аддитивная функция множеств. Заряд - это конечно аддитивная функция множеств. Прошу заметить, что про область значений заряда ничего конкретно не сказано. Это значит, что заряд может действовать в кольцо, в произвольное абстрактное кольцо. Главное, чтобы костюмчик сидел заряд обладал свойством конечной аддитивности. Кстати, я могу добавить даже, что заряд может действовать в коммутативный моноид, ибо для соблюдения свойства конечной аддитивности нам вполне достаточно одной бинарной операции. Главное, чтобы она была ассоциативна (чтобы можно было с ней ассоциировать сумму), коммутативна (чтобы сумма была перестановочна), чтобы относительно ее существовал нейтральный элемент (заряд должен переводить пустое множество в нейтральный элемент по логике вещей). А вот мера вещественнозначна, и с этим ничего не поделаешь.))) Пойдем дальше. Примеры мер! 1. Меры Жордана (это то, что геометры называют длинной/площадью/объемом). Мер Жордана очень много - это не одна мера, а целый класс мер. Интеграл Римана строиться по мере Жордана. 2. Меры Лебега (естественное обобщение понятий длинны, площади, объема в рамках координатного пространства $R^n$). Это тоже целый класс мер. По мере Лебега строится интеграл Лебега (в узком смысле этого слова). Иногда под интегралом Лебега подразумевается интеграл, который строится по произвольно выбранной мере. 3. Вероятности - меры, области значений которых заключены в отрезок [0 , 1]. Из всего, что я написал выше, следует, что вероятность как и объем не могут быть отрицательными, комплексными или еще какими-то там. То, что Munin по незнанию именует объемом - это заряд (в крайнем случае ориентированный объем). С терминами разобрались. Надеюсь Munin не будет брызжать слюной, писать гадости (как обычно он это делает) и просто и спокойно примет к сведению терминологическую специфику, которую придумывал не я, а люди которые жили задолго до меня. И не для того, чтобы троллить участников форума, а исключительно из своих соображений! Теперь по поводу определителя. Исторически определитель возник как специальная штучка, с помощью которой можно решать системы линейных уравнений (не все правда, но все же). И вводить его стоит исключительно из этих соображений. Можно представить несколько эквивалентных определений определителя, как это сделал Кострикин:
1) Определитель определяется явно через свои элементы.
Компактно но сложно. Сложно выводить его основные свойства.
2) Определитель определяется как полилинейная кососимметричная функция строк/столбцов.
Просто прекрасно.
3) Определитель определяется как естественный гомоморфизм пространства линейных функций в базисное поле.
Наглядно. Поучительно. Алгебраично.
Третий способ на мой взгляд самый лучший, ибо он показывает связь между линейными функциями и определителями.
Если все же пытаться ввести определитель как заряд, сразу возникнут проблемы. Для начала нужно построить область определения такого заряда. Область определения заряда должна включать множество всех n-мерных параллелепипедов и учитывать тот факт, что заряд - конечно аддитивен. Это значит, что в качестве области определения мы должны выбрать кольцо порожденное множеством всех n-мерных параллелепипедов. Разумеется, мы не можем просто взять и выписать формулу для нашего заряда Мы должны отталкиваться от того, что:
1) он конечно аддитивен;
2) имеется эталонный n-мерный параллелепипед, для которого выписано значение заряда в явном виде.
Отталкиваясь от этих данных, мы должны вывести основные свойства определителя.
У меня все...

-- 18.09.2015, 13:34 --

1)Что касается Red Herring он может нацепить указанную выше "аватарку" себе хоть на год, хоть на два... Ну а если он не изменит свою риторику, то и на все десять лет!
2) Что касается моего уровня знаний, его имеют право оценивать только те люди, которые принимают у меня экзамены!
3) Что касается моего состояния здоровья, его имеют право оценивать только люди имеющие должную квалификацию (т.е. медики). Это сообщение относится к Brukvalub, Red Herring.
4) Nemiroff меня лично оскорбил, и я его не прощу пока он не извинится передо мною. Кстати, где были модераторы, которые должны, по идее, банить людей, переходящих на личности? Это ли не лицемерие? Жду ответов...(Я не оскорбил лично никого. В том числе и В.И. Арнольда, который действительно плохо знал алгебру и был экстремистом в своих взглядах.)
5) Red Herring оскорбил господина Сринивасу Рамануджана Айенгора. Я жду извинений...
6) В том числе я жду извинений перед алгебраистами, которых он оскорбил. Перед Эваристом Галуа, перед Софусом Ли, перед Бернсайдом Уильямом, перед Биркгофом Гарретом, перед Артином Эмилем и т.д...
Я жду ответов и извинений от людей, в которых, я надеюсь, еще осталась капля чести и достоинства. Если вы достойные люди, вы сможете поступить мужественно и дать ответы. А также принести извинения... Я милосерден и готов простить... Дальше дело за вами... Если вы поступите по совести, я признаю в вас достойных мужей и буду уважать. Ибо сие есть великое испытание признать свои слабости и превознестись над своими пороками! Если вы забаните меня, то баньте навсегда, ибо я все-равно не желаю иметь никаких дел с глупыми, порочными и жалкими в своих побуждениях людьми. Даю вам один день на размышления!

[kp9r4d]

Цитата:

Из всего, что я написал выше, следует, что вероятность как и объем не могут быть отрицательными, комплексными или еще какими-то там.

По-моему как-то слишком категорично, вот что пишет Терренс Тао:

Цитата:

Like many other broad and fundamental mathematical concepts (e.g. “number”, “space”, “limit”, “distance”, “size”, “similar”, etc.), it seems best to view integration as a loosely related family of mathematical operations, rather than to try to force all of them artificially into a single unifying formal or axiomatic framework.

то есть он даже "интеграл" не считает чётко определённым концептом, который понимают все математики однозначно, а "размытой идеей" имеющей множество имплементаций в математике, не говоря уже об объемё ("size"). В точности как и "вероятность", которая, хоть и более-менее однозначно определена в математике, она не перстаёт быть просто "концептом", которому можно придать в математике и более "широкие" трактовки, чем "конечная мера", если так того требует ситуация.

Цитата:

Исторически определитель возник как специальная штучка, с помощью которой можно решать системы линейных уравнений (не все правда, но все же). И вводить его стоит исключительно из этих соображений

Насколько я понял то, что я прочитал в этом треде, никто про "введение определителя как объема" и не говорил.

[Lia]

LionKing в сообщении #1054526 писал(а):

Я жду ответов и извинений от людей, в которых, я надеюсь, еще осталась капля чести и достоинства.

LionKing

Настоятельная просьба избавить тематические разделы от разбирательств подобного рода. Вы всегда можете воспользоваться механизмом жалоб, а также разделом "Работа форума".
Замечание за оффтоп.

В случае продолжения оффтопа и неизбежного перерастания во флейм ветка будет грубо и насильственно закрыта, поскольку половину сообщения я могу только удалить, но не переместить в другой раздел. Подумайте об этом.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #1054542 писал(а):

то есть он даже "интеграл" не считает чётко определённым концептом, который понимают все математики однозначно, а "размытой идеей" имеющей множество имплементаций в математике

Terence Tao, Differential Forms and Integration писал(а):

There are in fact three concepts of integration that appear in the subject: the indefinite integral $\int f$ (also known as the antiderivative), the unsigned definite integral $\int_{[a,b]} f(x) dx$ (which one would use to find the area under a curve, or the mass of a one-dimensional object of varying density), and the signed definite integral $\int_a^b f(x) dx$ (which one would use, for instance, to compute the work required to move a particle from a to b)...
These three integration concepts are of course closely related to each other in single-variable calculus ... When one moves from single-variable calculus to several-variable calculus, though, these three concepts begin to diverge significantly from each other. The indefinite integral generalises to the notion of a solution to a differential equation, or of an integral of a connection, vector field, or bundle. The unsigned definite integral generalises to the Lebesgue integral, or more generally to integration on a measure space. Finally, the signed definite integral generalises to the integration of forms

[LionKing]

kp9r4d в сообщении #1054542 писал(а):

то есть он даже "интеграл" не считает чётко определённым концептом, который понимают все математики однозначно, а "размытой идеей" имеющей множество имплементаций в математике, не говоря уже об объемё ("size"). В точности как и "вероятность", которая, хоть и более-менее однозначно определена в математике, она не перстаёт быть просто "концептом", которому можно придать в математике и более "широкие" трактовки, чем "конечная мера", если так того требует ситуация.

Я вас прекрасно понимаю. Однако я хотел подчеркнуть, что не нужно создавать терминологическую путаницу там, где ее можно избежать. Если возникает новое понятие, проще обозначить его новым термом. А то представьте себе, введу я в рассмотрение какой-то оператор (взятие целой части вектора, например) и назову его производной.

[Munin]

LionKing в сообщении #1054526 писал(а):

Исторически определитель возник как специальная штучка, с помощью которой можно решать системы линейных уравнений (не все правда, но все же). И вводить его стоит исключительно из этих соображений.

Исторически паровая машина Джеймса Уатта возникла как механизм для откачивания воды из британских угольных шахт. А фонограф Эдисона - как прибор для записи последних слов умирающего. А бензин - вообще как побочный продукт перегонки нефти, не имеющий никакой пользы, в отличие от менее летучих фракций.

[LionKing]

Я рад.

[grizzly]

Исторические корни всё равно интересны. Я вот вскользь посмотрел про этот метод фан-чэн, которым всего за сотню лет до нашей эры китайцы решали свои системы уравнений. Метод Гаусса. И говорят, что это и есть первые дошедшие до нас источники использования "типа" определителей. Но использование было немного кривым, вряд ли стоит настаивать до сих пор так делать.