Финансовая математика. Активы и кожффициент Шарпа

[Asalex]

Дорогие форумчане, помогите разобраться со следующей задачей:

Даны два актива с ожидаемыми избыточными прибылями 7 и 4, и дана их ожидаемая матрица ковариации
$\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$
Каков максимальный ожидаемый коэфициент Шарпа, который можно получить объединяя два актива в портфеле?


У меня проблема уже с тем как эту задачу переформулировать на языке теории вероятности:

Два актива -- это две случайные величины $X:\left\{1,...,N\right\}\mapsto \left\{X_1,,,,,X_N\right\} \qquad \,$, $\qquad Y:\left\{1,...,N\right\}\mapsto \left\{Y_1,,,,,Y_N\right\}.$
Их средние $\overline{X}=\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^NX_j =7 \qquad$, $\qquad\overline{Y}=\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^NY_j =4.$
Их матрица ковариации $cov(X,Y)=\begin{pmatrix}\sum\limits_{j=1}^N(X-\overline{X}_j)^2 & \sum\limits_{j=1}^N(X-\overline{X}_j)(Y-\overline{Y}_j)\\\sum\limits_{j=1}^N(X-\overline{X}_j)(Y-\overline{Y}_j)&\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^N(Y-\overline{Y}_j)^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}.$


Правильно ли понимать что задача состоит в нахождении чисел $\alpha\geq0, \beta\geq0, \alpha+\beta=1,$ которые максимизируют среднее $\alpha X + \beta Y ?$

Заранее большое спасибо.

[Евгений Машеров]

Нет. Если бы дело было в среднем - ответ был бы тривиален. Надо всё вкладывать в более доходный актив. Доходность стоит в числителе коэффициента Шарпа, а в его знаменателе - стандартное отклонение доходности актива. Которое надо найти, зная ковариацию доходностей активов и их относительные доли.

[Asalex]

Спасибо.

Согласно википедии,
$S = \frac{E[R-R_f]}{\sqrt{Var\left\{(R-R_f)\right\}}},$
где $R$ - дозодность портфеля (актива), $R_f$- доходность от альтернативного вложения (берется безрисковая ставка).

Так ли это что здесь $R\equiv X$ (как актив с бОльшей доходностью), $R_f\equiv Y$ - альтернативный актив,
$\sqrt{Var\left\{(R-R_f)\right\}}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^N (X_j-Y_j)^2},$
и в итоге
$S=\frac{\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^N (X_j-Y_j)}{\sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^N (X_j-Y_j)^2}}\quad ?$

[Евгений Машеров]

Нет. В условии доходности альтернативного вложения вообще не приведено. "Альтернативное" - это вообще не рисковать, вложить в самые надёжные (и оттого наименее доходные) госбумаги. И тут либо доходности приведены уже с вычитанием доходности безрискового актива, либо его доходность принята за ноль. И требуется вложиться не в безрисковый и бесприбыльный вариант, а в два обещающих прибыль и при этом рискованных, определив пропорцию между ними такую, чтобы максимизировать коэффициент Шарпа, отношение ожидаемой доходности портфеля к её возможным колебаниям.

[Asalex]

Евгений Машеров, спасибо большое за ответы, но я все еще не понимаю как понять условие задачи.

Я вижу два варианта:

1) Для того чтобы вычислить коэффициент Шарпа, нам нужен какой-то безрисковый актив. Поскольку его в условии нет, то безрисквый актив принимается за бездоходный, и тогда нам нужен только один из активов, ланных в условии, то есть более доходный? Получается что второй актив дан для замыливания глаз?

2) Коэфициент Шарпа считается для более доходного актива по отношению к менее доходному? И тогда коэффициент Шарпа вычисляется по формуле
$S=\frac{\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^{N}{(X_j-Y_j)}}{\sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^N(X_j-Y_j)^2}}$

3) Берется объединение активов, $Z=\alpha X+\beta Y,$ и считается его коэффициент Шарпа по отношению к безрисковому бездоходному вложению. Тогда коэффициент Шарпа
$S_{\alpha, \beta}=\frac{\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^{N}{(\alpha X_j+\beta Y_j)}}{\sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^N(\alpha X_j+\beta Y_j)^2}}$
В обоих вариантах я не особо вижу как это вычислять через данные условия, а именно средние значения и матрицу ковариации.

[Евгений Машеров]

Вариантов Вы всё же привели три.
Безрисковый актив это "база сравнения". То есть инвестор обдумывает, стоит ли вкладывать деньги в рискованные проекты (и, вторым темпом, если вкладывать, то в какой пропорции) или же не рисковать, оставив их в банке или купив гособлигации (считащиеся "безрисковыми", поскольку в случае банкротства государства риск распределяется на всех его граждан, а не только на приобретателей облигаций). В реальности такие вложения, в банк ли или в "трежери", приносят некоторый доход, но малый, иногда лишь компенсирующий инфляцию, и если вести расчёт с поправкой на инфляцию, можно считать нулём.
Первый Ваш вариант неверен, потому, что исключает снижение риска диверсификацией вложений. "Не кладите все яйца в одну корзину".
Второй вариант неверен для данной задачи. Хотя смысл рассчитать изменение коэффициента Шарпа для одного и другого актива есть, например, если вопрос о смене направления инвестирования - стоит ли вкладывать в более рискованный проект. Но считают доходность всё равно относительно безрискового.
Третий вариант ошибочен, но наиболее близок к верному в содержательном плане. Мы действительно должны найти для данной комбинации активов ожидаемую её доходность и её дисперсию. Числитель правилен, но Вы его записали в виде, использующем неизвестные нам данные - доходности по отдельным годам, тогда как нам дана уже усреднённая, и записать выражение через усреднённую просто. В знаменателе не учтено то, что дисперсия это средний квадрат отклонения от среднего, а не просто средний квадрат. Здесь также нужно выразить не через доходности по периодам, а через дисперсии и ковариации их.

[Asalex]

Спасибо. То есть такое выражение для коэффициента Шарпа верное?

$S_{\alpha, \beta}=\frac{\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^{N}{(\alpha X_j+\beta Y_j)}}{\sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^N(\alpha (X_j-\overline{X})+\beta (Y_j-\overline{Y}))^2}} = \frac{{(\alpha \overline{X}+\beta \overline{Y})}}{\sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^N(\alpha (X_j-\overline{X})+\beta (Y_j-\overline{Y}))^2}}$

В нем конечно нужно еще выразить знаменателль через ковариацию и средние значения, а затем оптимизировать по $\alpha+\beta=1$.

[Евгений Машеров]

Ну, кроме того, что обычно делят на $N-1$, остальное вроде верно.

[Евгений Машеров]

Вдогонку:
1. То, что доходность названа "избыточной", полагаю, и означает, что она уже дана относительно безрискового актива.
2. Лично я, вместо того, чтобы оптимизировать дробь с корнем в знаменателе при ограничении, обратил бы внимание на то, что умножение альфы и беты на одно и то же число не меняет коэффициента Шарпа, и оставил бы ограничение $\alpha+\beta=1$ "на потом". А поскольку числитель очевидно положителен, то коэффициент можно возвести в квадрат, минимум квадрата будет в той же точке. И тогда можно решать задачу на минимум дисперсии при условии доходности, равной некоей константе. Лагранж в помощь. А уж потом привести сумму коэффициентов к единице.

[upgrade]

Безрисковый - такой, у которого нет колебаний доходности, т.е. точно известно какая будет доходность на интервале инвестирования в рисковый.
Это может быть депозит даже в небольшом банке.
Т.о. величина доходности для безрискового актива не имеет значения для задачи.