Два похожих уравнения

[scwec]

1.Рассматривается уравнение $4x^3-3y^2-4=k^2\qquad(1)$.
Докажите, что при любом рациональном $k$ уравнение $(1)$ имеет рациональные решения $(x,y)$.

2.Поменяем в $(1)$ местами коэффициенты $3,4$ при $y,x$. Получим уравнение $3x^3-4y^2-4=k^2\qquad(2)$.
Это уравнение имеет рациональные решения: например, $k=1,x=7,y=16$; $k=x=y=2$.
Найдите хотя бы одно натуральное $k$, при котором $(2)$ не имеет рациональных решений.

[Shadow]

scwec в сообщении #1053351 писал(а):

1.Рассматривается уравнение $4x^3-3y^2-4=k^2\qquad(1)$.
Докажите, что при любом рациональном $k$ уравнение $(1)$ имеет рациональные решения $(x,y)$.

$x=\dfrac{k^2}{3}+1,\;y=\dfrac{2k^3}{9}+k$

[scwec]

Shadow, ждал от Вас этого ответа. Не расскажете, откуда он появился?

[Shadow]

Да, ничего интересного. Немножко тыка, немножко неопределенных коэффициентов. Повезло с первого раза.

[nnosipov]

Вот код в Maple:

f:=4*x^3-3*y^2-4-k^2;
F:=subs(x=a[1]*k^2+a[2]*k+a[3],y=a[4]*k^3+a[5]*k^2+a[6]*k+a[7],f);
solve({seq(coeff(F,k,i)=0,i=0..6)},{seq(a[i],i=1..7)});

И одно из решений:

{a[1] = 1/3, a[2] = 0, a[3] = 1, a[4] = 2/9, a[5] = 0, a[6] = 1, a[7] = 0}

Кстати, с уравнением $4x^3-3y^2+4=k^2$ та же история.

[scwec]

nnosipov, это то, что хотелось увидеть. Слегка обобщив, рассмотрим уравнение $4x^3-3y^2-4m^3=k^2\qquad(3)$
и находим с помощью Maple, что при любых рациональных $m\ne{0},k$ уравнение $(3)$ имеет рациональное решение $x=\dfrac{k^2}{3m^2}+m, y=\dfrac{2k^3}{9m^3}+k$.
Maple выдает в данном случае два рациональных решения, но их имеется бесконечно много.
Кстати, при $m=0$ рациональные решения тоже есть, но не при всех $k$.
Вот список натуральных $k$ дающих рациональные решения уравнения $(3)$ при $m=0$: $k=6,7,9,12,13,15,17,19,20,22...$
Например, решение для $m=0,k=6$ это $x=7/3,y=20/9$
Maple для этих вариантов нужных решений (мне во всяком случае) не выдает.

Что касается первоначальных вопросов, то остается незатронутым пока второй.
Найти натуральное $k$, при котором уравнение $(2)$ не имеет рациональных решений.