тензорное произведение

[Таня Тайс]

Всегда ли верно, что (и что требуется от $f$, чтобы это было верно):
$f (x \otimes y)=f(x) \otimes f(y)$
Подробности опускаю, в надежде на телепатию.


P.S. Вопрос, подходящий для полночи .

[Таня Тайс]

$aE_{n} \otimes b E_{m} =ab(E_{n} \otimes E_{m})= ab E_{nm}, $
где $ \begin{pmatrix} a & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & a & 0 \\ 0 & \dots & 0 & a \end {pmatrix}_{n \times n } =a E_{n} $



$(E_{n} \otimes E_{m})= E_{nm}$ потому что у этих линейных
пр-в одинаковая размерность.
Так ли это?

[Таня Тайс]

Вероятно, вопрос насчёт $f$ некорректно поставлен,
на свой вопрос насчёт единичных матриц я сама отвечаю утвердительно,
а вот ещё :
верно ли что из $ A \otimes_{k} K \approx B \otimes_{k} K$ не следует, что
$A \approx B$.
Ожидаю увидеть "да". Иначе я вообще ничего не понимаю...

[lofar]

Таня Тайс писал(а):

верно ли что из $ A \otimes_{k} K \approx B \otimes_{k} K$ не следует, что
$A \approx B$.

Если $k$ --- произвольное кольцо, то не следует. Например, $\mathbb Z_3\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z_2=\mathbb Z_5\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z_2=0$, но $(\mathbb Z_3)_{\mathbb Z}\not\cong(\mathbb Z_5)_{\mathbb Z}$.
Если $k$ --- поле и $K$ --- расширение $k$, то следует, так как $\dim_k(B)=\dim_K(B\otimes_kK)$.

[Таня Тайс]

Буду благодарна за подробные пояснения.
$k$ это поле, конечно, а $K$ его расширение.
$A, B$ это $k-$алгебры, простые и центральные,
имеющие своим полем разложения поле $K$ (термин Ван дер Вардена)
$A \otimes_{k} K \approx M_{n}(K) \approx B \otimes_{k} K$
$dim_{k}A=n^{2}=dim_{k}B$
А почему они должны быть изоморфны?

[lofar]

В предыдущем сообщении я говорил о модулях. Векторные ространства (= модули над полями) изоморфны тогда и только тогда, когда равны их размерности.

В случае алгебр ваше утверждение верно. Возьмем $\mathbb H$ (алгебра кватернионов) и $M_2(\mathbb R)$, это простые конечномерные центральные алгебры над $\mathbb R$. Для каждой из них $\mathbb C$ является полем разложения, причем $\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\cong M_2(\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\cong M_2(\mathbb C)$ (изоморфны, как $\mathbb C$-алгебры).

[Таня Тайс]

Огромное спасибо за пример! У меня вообще никаких примеров не было!

[Таня Тайс]

Попытка номер 2.
Дано отображение между множествами $f \colon B \to C$
Известно только, что $f$ сурьективно и определено на всём $B$.
Пусть $ z_{1} , z_{2} \in C $ произвольные элементы.
Тогда существуют $ x, y \in B $ , такие что $ f(x)=z_{1} , f(y)=z_{2} $.
Будет ли выполняться $ f(x \otimes y) =z_{1} \otimes z_{2}$
и если да, то почему.

Мне лезет в голову ерунда какая-то типа: Да, потому что тензорное произведение билинейно.
И ёще : могут ли это быть действительно произвольные элементы?

[Таня Тайс]

Таня Тайс писал(а):

$ f(x)=z_{1} , f(y)=z_{2} $.
Будет ли выполняться $ f(x \otimes y) =z_{1} \otimes z_{2}$
и если да, то почему.

Может быть так: отображение $ f \colon B \to C $ не определено на $ B \otimes B $,
т. е. я его сама определяю как $ f(x \otimes y) =f(x) \otimes f(y) $ и тогда всё верно по определению!!!
Может ли это быть правдой?

[lofar]

Пусть $A$, $B$, $X$, и $Y$ --- $K$-алгебры. Пусть также $\alpha\colon A\to X$ и $\beta\colon B\to Y$ --- гомоморфизмы $K$-алгебр, тогда существует и единственен гомоморфизм $\alpha\otimes\beta\colon A\otimes X\to B\otimes Y$ такой, что $\alpha\otimes\beta(a\otimes b)=\alpha(a)\otimes\beta(b)$.

В частности, гомоморфизм $f\colon B\to C$ индуцирует гомоморфизм $f\otimes f\colon B\otimes B\to C\otimes C$, $f\otimes f\colon b_1\otimes b_2\mapsto f(b_1)\otimes f(b_2)$. Важно, что $f$ и $f\otimes f$ --- разные гомоморфизмы (у них разные области определения и значения). Вместе с тем, если не возникает смешения, можно $f\otimes f$ обозначить и как $f$ (видимо, так Вы и поступаете).