тетраэдр

[maciek]

В тетраэдр складного $ABCD$ на отрезке $BE$ соединяющим вершину $B$ с центром тяжести $E$ стены $ACD$ выбрали пункт $S$. Ведзонц, что угол $DSA$ прямой угол определи отношение $ES:SB$.

[PAV]

PAV:

maciek, официальными языками форума являются русский и английский (см. п. I-1-с правил). Просьба перевести свое сообщения и в дальнейшем писать на одном из официальных языков форума

[maciek]

Извиняется, но я употреблял транслятора

[photon]

По-русски это будет так:

В тетраэдре $ABCD$ на отрезке $BE$, соединяющем вершину $B$ с центром тяжести $E$ грани $ACD$, выбрали точку $S$. Известно, что $\angle DSA$ - прямой. Определить отношение $ES:SB$.


maciek, если Вы владеете английским, то лучше используйте его - Вас поймут.

[maciek]

Спасибо!

[bot]

Чтобы не путаться в буковках, я их переставлю.

В тетраэдре $ABCD$ на отрезке $DE$, соединяющем вершину $D$ с центром тяжести $E$ грани $ABC$, выбрали точку $S$.
Известно, что $\angle BSA$ - прямой. Определить отношение $ES:SD$.

Все рёбра тетраэдра считаем по единице. Выберем базис:
a=DA, b=DB, c=DC - загромождающие стрелки просто не ставлю.
Их попарные скалярные произведения равны по 1/2, то есть в матрице Грама G для них внедиагональные элементы по 1/2, а диагональные по 1.
Тогда $DE=\frac{a+b+c}{3}$
$DS=x(a+b+c)$
$SA=SD+DA=(1-x)a-xb-xc,$
$SB=SD+DB=-xa+(1-x)b-xc$,
то есть координатные строки векторов SB и SA в базисе a, b, c имеют вид:
$[SB]=(-x, \ 1-x, \ -x)$
$[SA]=(1-x, \ -x, \ -x)$.
Из $SB \perp SA$ получаем $[SB]G[SA]'=6x^2-4x+\frac{1}{2}=0$. Если было бы сказано, что S лежит не на отрезке DE, а на прямой DE, то корень $x=\frac{1}{2}$ давал бы ещё одно решение. Раз сказано, то он посторонний, остаётся x=1/6. Отсюда $|ES|=|SD|$.