Демидович. 90.

[Charlz_Klug]

Условие задачи:
Построить графики тригонометрических функций:
$y = a \sin x + b \cos x$, если $a = 6, b = -8$.

Решение, предлагаемое в книге:

Обозначим $a = A \cos \varphi$ и $b = -A \sin \varphi$. Тогда
$y = a \sin x + b \cos x = A \cos \varphi \sin x + (-A \sin \varphi ) \cos x = A \cos \varphi \sin x - A \sin \varphi \cos x = A (\cos \varphi \sin \varphi - \sin \varphi \cos \varphi) = A \sin (x - \varphi)$.

Теперь ищем значение $A$:
$\cos \varphi = \frac {a} {A}$ и $\sin \varphi = - \frac {b} {A}$.
$\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1 \Rightarrow (\frac {a} {A})^2 + (- \frac {b} {A})^2 = 1 \Rightarrow (\frac {a} {A})^2 + (\frac {b} {A})^2 = 1 \Rightarrow \frac {a^2 + b^2} {A^2} = 1$ $\Rightarrow a^2 + b^2 = A^2 \Rightarrow A = \sqrt {a^2 + b^2} = \sqrt {36 + 64} = \sqrt {100} = 10$.

Теперь ищем значение $\varphi$:
$\frac {\sin \varphi} {\cos \varphi} = \tg \varphi = - \frac {b} {A} \frac {A} {a} = - \frac {b} {a} \Rightarrow \varphi = \arctg (- \frac {b} {a}) = \arctg (- \frac {-8} {6}) = \arctg (\frac {8} {6}) = \arctg (\frac {4} {3}) \approx 0.92$

Тогда функция выражается так: $y = 10 \sin (x - 0.92)$
Непонятные мне моменты:
1) Почему именно взято что $a = A \cos \varphi$ и $b = -A \sin \varphi$?
2) Почему $A = \sqrt {a^2 + b^2}$, а не $|A| = \sqrt {a^2 + b^2}$

[ИСН]

1) Знаете, как делают модели кораблей в бутылках? В бутылку заливают силикатного клея, засыпают щепок, мусора, и трясут. Получаются разные странные штуки, иногда корабли. Вот так и тут. Пробовали то, сё, в этом случае получилось хорошо.
2) Ваше замечание верно, но от него никому ни жарко, ни холодно. Вы понимаете дальнейшую цепочку рассуждений? Вот и воспроизведите её с учётом того, что $A$ на самом деле может быть с минусом. Получится то же самое.

[Charlz_Klug]

Предполагаем $A = - 10$, отсюда следует:
$\cos \varphi = - \frac {3} {5}$ и $\sin \varphi = - \frac {4} {5}$. Таким образом, $\tg \varphi = \frac {4} {3}$. То есть, угол $\varphi$ для $A = - 10$ равен углу $\varphi$ для $A = 10$ плюс $\pi$. Отметим угол $\varphi$ для $A = - 10$ как $\varphi_1$, а $A = - 10 = A_1$. Тогда
$A_1 \cos \varphi_1 \sin x + (-A_1) \sin \varphi_1 \cos x = A_1 \cos \varphi_1 \sin x -A_1 \sin \varphi_1 \cos x = A_1 (\cos \varphi_1 \sin x -\sin \varphi_1 \cos x) = A_1 (\sin x \cos \varphi_1 - \cos x \sin \varphi_1) = A_1 \sin (x - \varphi_1)$

Но, $\varphi_1 = \pi + \varphi$, тогда
$A_1 \sin (x - \varphi_1) = A_1 \sin (x - (\pi + \varphi)) = - A_1 \sin ((\pi + \varphi) - x) = - A_1 \sin (\pi + \varphi - x) = - A_1 ( - \sin (\varphi - x)) = A_1 \sin (\varphi - x) = -10 \sin (\varphi - x) = 10 \sin (x - \varphi)$

То есть, результат и для $A = 10$, и для $A = -10$ один и тот же. Я всё правильно понял?

[ИСН]

Конечно.

[Charlz_Klug]

Спасибо за объяснения!