Ковариация случайного процесса

[vlad_light]

На стр. 36-39 описывается асимптотика оценки Каплана-Мейера. На стр. 39 в самом начале написано:

Цитата:

Direct calculation of the covariance structure of $Z_N - \int Z_Yd\Lambda$ shows that ...

с вычислением которого у меня возникают проблемы. $Z_N=N_n - \mathbb EN_n$ и $Z_Y=Y_n - \mathbb EY_n$ -- это гауссовские процессы с 0 средним, $\Lambda$ -- некоторая мера (описана на стр. 36), которая для простоты не имеет "прыжков" (т.е. $\Delta \Lambda = 0$). Поскольку $\mathbb EN_n$ не зависит от $n$, обозначим его просто $N$ (аналогично для $Y$).
По теореме Фубини $\mathbb E[Z_N - \int Z_Yd\Lambda ] = 0$, следовательно

$$\mathrm {cov}[Z_N(s) - \int _{(0,s)} Z_Yd\Lambda , Z_N(t) - \int _{(0, t)} Z_Yd\Lambda] = \mathbb E\left[(Z_N(s) - \int _{(0,s)} Z_Yd\Lambda )(Z_N(t) - \int _{(0, t)} Z_Yd\Lambda)\right]$$

Как посчитать

$$\mathbb E[Z_N(s)\int _{(0, t)}Z_Yd\Lambda]\quad \text{и}\quad \mathbb E[(\int _{(0, s)}Z_Yd\Lambda )(\int _{(0, t)}Z_Yd\Lambda)]?$$

(Оффтоп)

Мои попытки: первое слагаемое в сумме равно:

$$\mathbb E[Z_N(s)Z_N(t)]=N(s \wedge t) - N(s)N(t),$$

последнее:

$$\mathbb E[(\int _{(0, s)}Z_Yd\Lambda )(\int _{(0, t)}Z_Yd\Lambda)] = \mathbb E\left[\int _{(0, s)}Y_1d\Lambda \int _{(0, t)}Y_1d\Lambda\right] - \int _{(0, s)}Yd\Lambda \int _{(0, t)}Yd\Lambda ,$$

где $Y_1(t) = \mathbf 1 \{\xi < t\}$. Подставляя $\Lambda$ из стр. 36, получаем:

$$\mathbb E[\Lambda (\xi , s\wedge t)] - N(s)N(t)$$

Аналогично

$$\mathbb E[Z_N(s)\int _{(0, t)}Z_Yd\Lambda] = \mathbb E[N_1(s) \Lambda (\xi , t)] - N(s)N(t)$$

Собирая всё, получаем

$$\mathrm {cov}[\ldots, \ldots] = N(s\wedge t) + \mathbb E\left[\Lambda (\xi , s\wedge t) - N_1(s)\Lambda(\xi , t) - N_1(t)\Lambda (\xi, s)\right]$$

что не сходится с красивым результатом в статье.