2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Форма записи рядов Фурье
Сообщение09.03.2008, 14:43 
Общий вид ряда Фурье для непрерывного сигнала произвольного периода имеет вид:
$f(x) = \dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos{\dfrac{\pi nx}{l}} + b_n\sin{\dfrac{\pi nx}{l}}\right)$
По формуле суммы синуса и косинуса равных углов:
$P\sin{\alpha} + Q\cos{\alpha} = \sqrt{P^2 + Q^2}\sin{\left(\alpha + \arctan{\dfrac{Q}{P}}\right)}$

Отсюда получаем:
$f(x) = \dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \sin{\left(\dfrac{\pi nx}{l} + \arctan{\dfrac{a_n}{b_n}}\right)} \right)$

Два вопроса:
1. Формула суммы синуса и косинуса равных углов верна в предположении $Q \geq 0$. Будет ли верным записанное мной последнее равенство во всех случаях?
2. Почему общий вид ряда Фурье канонически записывается и анализируется так, как я записал в первой формуле, хотя вторая форма записи вроде бы удобнее, т.к. содержит одну тригонометрическую функцию и сдвиг фазы для данной гармоники в явном виде?

 
 
 
 
Сообщение09.03.2008, 14:51 
Аватара пользователя
e2e4 писал(а):
Формула суммы синуса и косинуса равных углов верна в предположении $Q \geq 0$. Будет ли верным записанное мной последнее равенство во всех случаях?
Сама формула верна при любых значениях коэффициентов P , Q , лишь бы оба они не равнялись нулю одновременно, а вот вспомогательный угол не всегда можно найти по ф-ле \[arctg\frac{Q}{P}\].


e2e4 писал(а):
2. Почему общий вид ряда Фурье канонически записывается и анализируется так, как я записал в первой формуле, хотя вторая форма записи вроде бы удобнее, т.к. содержит одну тригонометрическую функцию и сдвиг фазы для данной гармоники в явном виде?
Рассуждения с таким рядом гораздо удобнее проводить, когда он записан в исходном виде, без указания сдвига фаз.

 
 
 
 
Сообщение09.03.2008, 14:58 
Brukvalub писал(а):
e2e4 писал(а):
Формула суммы синуса и косинуса равных углов верна в предположении $Q \geq 0$. Будет ли верным записанное мной последнее равенство во всех случаях?
Сама формула верна при любых значениях коэффициентов P , Q , лишь бы оба они не равнялись нулю одновременно, а вот вспомогательный угол не всегда можно найти по ф-ле \[arctg\frac{Q}{P}\].

Да, конечно. Но я имел ввиду запись вспомогательного угла именно с помощью арктангенса отношения амплитуды косинусной составляющей к амплитуде синусной составляющей. Почему-то мне кажется, что в случае рядов Фурье достаточно именно этого представления, за исключением $b_n = 0$, но эту особую точку можно рассматривать отдельно. Чтобы самому не доказывать, может быть кто-то уже знает - верно мое предположение или нет?


Brukvalub писал(а):
e2e4 писал(а):
2. Почему общий вид ряда Фурье канонически записывается и анализируется так, как я записал в первой формуле, хотя вторая форма записи вроде бы удобнее, т.к. содержит одну тригонометрическую функцию и сдвиг фазы для данной гармоники в явном виде?
Рассуждения с таким рядом гораздо удобнее проводить, когда он записан в исходном виде, без указания сдвига фаз.

К сожалению, я не работал теоретически с рядами Фурье, подскажите пожалуйста пару-тройку примеров, когда первая запись оказывается выгодней второй? Мне при измерении сигналов удобнее иметь амплитуду и фазу гармоник в явном виде. Объясню, почему возник вопрос: в данный момент я пишу некоторую статью, и в данный момент стою перед выбором - какую форму записи рядов выбрать. Эта запись пойдет дальше по тексту везде, не хотелось бы потом исправлять десятки страниц.

 
 
 
 
Сообщение09.03.2008, 15:24 
Аватара пользователя
Вы можете написать
$$f(x)=\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{\pi nx}l+b_n\sin\frac{\pi nx}l\right)=\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sqrt{a_n^2+b_n^2}\sin\left(\frac{\pi nx}l+\varphi_n\right)\text{,}$$
где $\varphi_n}$ определяется условиями
$$\begin{cases}\sin\varphi_n=\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}\text{,}\\ \cos\varphi_n=\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}\text{,}\end{cases}$$
откуда можно найти
$$\varphi_n=\begin{cases}\arccos\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}\text{ при }a_n\geqslant 0\text{,}\\ \pi+\arccos\frac{-b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}\text{ при }a_n\leqslant 0\text{.}\end{cases}$$

 
 
 
 
Сообщение09.03.2008, 17:14 
Аватара пользователя
e2e4 писал(а):
К сожалению, я не работал теоретически с рядами Фурье, подскажите пожалуйста пару-тройку примеров, когда первая запись оказывается выгодней второй?
Да практически везде. Дело в том, что классическая тригонометрическая система при правильной нормировке является ортонормированной. Это сохраняет при работе с ней практически все преимущества, которые имеет работа с ортонормированной системой в конечномерном эвклидовом пространстве. Вы же,. записав ее по-своему, теряете свойство ортогональности слагаемых, теряются наработанные схемы доказательства поточечных признаков сходимости, в общем, для теоретического изучения рядов все становится нехорошо. Но, если Вы в своей статье будете лишь использовать готовые, уже известные результаты, а не доказывать новые, то и удобная для Вас запись дела испортить не должна.

 
 
 
 
Сообщение10.03.2008, 11:31 
Someone, Brukvalub, спасибо за помощь - есть пища для размышлений.

 
 
 
 
Сообщение10.03.2008, 23:03 
Запись "в форме e2e4" не так давно видел в доказательстве теорем Данжуа--Лузина (если тригонометрический ряд сходится абсолютно на множестве положительной меры, то ряд из его коэффициентов сходится) и Кантора--Лебега (если тригонометрический ряд сходится на множестве положительной меры, то его коэффициенты стремятся к нулю) --- там она удачно пригодилась.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group