2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение08.09.2015, 22:16 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ночь. Двое наблюдателей, находящихся в точках $(\pm1,-1)$ плоской Земли, смотрят на машину, едущую равномерно вдоль прямой $y = 1$. Между машиной и наблюдателями в виде какого-то множества $P\subset \mathbb R\times\{0\}$ посажены деревья, имеющие свойство перекрывать свет от фар машины (которые почему-то являются точечным источником), распространяющийся согласно геометрической оптике. Каким может быть $P$, чтобы в каждый момент времени наблюдатели оба или видели свет, или не видели?

Насчёт $P = \mathbb R, P = \varnothing$, равноответности $P$ и $\mathbb R\setminus P$, и даже $P = \mathbb Z$ можно не писать. :-)

(Оффтоп)

Каким может быть множество наблюдателей, располагающихся на прямой $y = -1$, чтобы были возможны нетривиальные (т. е. кроме $\mathbb R, \varnothing$) решения?
(И другие вариации насчёт множеств, в которых могут быть наблюдатели, деревья и машина.)


-- Ср сен 09, 2015 00:22:39 --

Да, кажется, в текущем виде задача простовата. Надо выбрать из обобщений что-нибудь поинтереснее…

 Профиль  
                  
 
 Re: Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение08.09.2015, 23:04 


06/12/14
510
Стыдно спросить, но любопытство сильней. Что такое $P \subset \mathbb R\times\{0\}$? Деревья растут на прямой $y=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение08.09.2015, 23:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Оно самое. $x\in\mathbb R$ и $y\in\{0\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение08.09.2015, 23:18 


06/12/14
510
А толщина деревьев, расстояние между глазами и между фарами роли разве не играет?
И сомнительно, что $P = \mathbb Z$ будет решением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение08.09.2015, 23:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Будем считать, что деревья нулевой толщины, а у каждого наблюдателя один точечный глаз.

Сейчас проверю $\mathbb Z$, я его только прикинул без обоснования.

-- Ср сен 09, 2015 01:29:53 --

Да нет, всё верно. Отождествим пока тут $P$ с $\mathbb R$ для простоты, тогда $x\in P$ влечёт $x\pm1\in P$, и, посадив дерево в $x$, мы вынуждены будем засадить ими всё $x+\mathbb Z$, но не обязательно больше. Потому задача в текущем виде простая — все ответы эквивалентны подмножествам $[0;1)$. Выбирайте обобщение!

 Профиль  
                  
 
 Re: Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение08.09.2015, 23:30 


06/12/14
510
arseniiv в сообщении #1051715 писал(а):
Будем считать, что деревья нулевой толщины, а у каждого наблюдателя один точечный глаз.


Фара тоже одна, надо думать? Тогда действительно очень просто

 Профиль  
                  
 
 Re: Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение08.09.2015, 23:36 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Возлагаю какие-то надежды на задачи с тремя и более наблюдателями. Там итерировать можно будет уже не одну функцию ($1\to2$), а как минимум три две ($1\to2,1\to3$).

unistudent в сообщении #1051717 писал(а):
Тогда действительно очень просто
Можно сделать деревья толстыми, а глаза многочисленными, просто убрав запрет располагать их лишь на $\mathbb R\times\{0\}$ (можно заполнять «канаву» $\mathbb R\times[-a;a]$) и помножив наблюдателей.

-- Ср сен 09, 2015 01:50:34 --

Худшие опасения подтвердились: $n$ наблюдателей, даже не выстроенных в линию, дают не более $n-1$ разных, но при том всё-таки линейных, преобразований, относительно которых должно быть инвариантно $P$.

-- Ср сен 09, 2015 01:53:50 --

Но если сделать хотя бы два ряда деревьев, должно стать интереснее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение09.09.2015, 00:03 


06/12/14
510
С несколькими наблюдателями в узлах решетки с постоянным шагом тоже вроде не сложно

 Профиль  
                  
 
 Re: Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение09.09.2015, 00:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Если деревья по прямой, как в исходном условии, то
arseniiv в сообщении #1051719 писал(а):
$n$ наблюдателей, даже не выстроенных в линию, дают не более $n-1$ разных, но при том всё-таки линейных, преобразований, относительно которых должно быть инвариантно $P$.
Под неаккуратным «разных» я тут понимал «достаточных, чтобы породить все остальные», а под «линейных» надо написать «аффинных», вида $x \mapsto ax+b$. Получается довольно простая IFS.

 Профиль  
                  
 
 Re: Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение09.09.2015, 15:34 


06/12/14
510
Да, это любопытно. Только я не все понимаю из того, что вы пишете. Какие линейные преобразования, для чего? Я пока в своих попытках разобраться с этой задачей пользоввался теоремой Фалеса. Но интересно было бы узнать, чем пользуетесь вы. Если не сложно, в двух словах, плз, не отсылая к талмудам. Спасибо:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение09.09.2015, 16:10 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Тут всё банально: берём дерево $x$ и $n$-го наблюдателя, находим положение машины, в котором она загорожена, после чего ставим дерево $f_{nm}(x)$ так, чтобы $m$-му наблюдателю машина тоже не была видна. $f_{nm}$ зависит в данном случае только от $n$ и $m$, так что можно брать любые их композиции. Получим из одной точки множество точек, которые должны вместе с ней принадлежать или не принадлежать $P$. Семейство всевозможных таких множеств $\mathcal S$ является разбиением прямой, и мы получаем решение $P = \bigcup\mathcal C, \mathcal C\subset\mathcal S$, т. е. объединение произвольного числа блоков разбиения (и всего их $2^{\mathcal S}$ штук).

 Профиль  
                  
 
 Re: Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение09.09.2015, 18:40 


06/12/14
510
Можно переформулировать задачу так: в двух параллельных траншеях (линии $y=\pm 1$) на одинаковом расстоянии друг от друга сидят скауты, в одной траншее скауты черные, а в другой - белые. Как надо посадить деревья между траншеями, чтобы черные не видели белых, а белые черных.

Ответ дает картинка
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение09.09.2015, 19:14 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Скучно как-то переформулировали. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение09.09.2015, 19:42 


06/12/14
510
Согласен. Но так было легче пояснить картинку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Машина, деревья и наблюдатели
Сообщение09.09.2015, 20:16 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Точнее, я до сих пор, признаюсь, не понял, в каком смысле имелось в виду это переформулировали — привели новую эквивалентную формулировку той же задачи или новую формулировку другой задачи? Если первое, то я что-то не соображу, при чём здесь это. (Например, ответом к оригинальной задаче может служить периодически повторённое множество Кантора.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group