Непрерывная функция n переменных как сумма функций

[Anton_Peplov]

Верно ли, что для каждой непрерывной функции $n$ переменных $f(x_1,\ x_2,... x_n)$ найдутся $n$ непрерывных функций одной переменной $f_1(x),\ f_2(x)...f_n(x)$ такие, что во всей области определения $f$ верно

$$f(x_1,\ x_2,... x_n) = \sum_{k=1}^n f_k(x_k)$$

?
Краем уха слышал, что Арнольд доказал то ли это, то ли что-то похожее, но хотелось бы уточнить.
P.S. Прошу уважаемых модераторов не отфутболивать меня по статье "не приведены попытки решения", т.к. это задача явно не учебного уровня.

[provincialka]

Видимо, края моих ушей расположены где-то совсем в другом месте... Странное какое-то утверждение... Пример приведёте?
Например, как представить функцию $f(x, y)=xy$ в виде суммы $g(x)+h(y)$?

[Anton_Peplov]

Нет, пример привести не могу. Утверждение действительно очень не очевидное, но при этом простое и красивое, чем меня и заинтересовало.
Возможно, речь шла о каком-то совсем другом утверждении, но случился "испорченный телефон".

[provincialka]

По-моему все-таки о другом утверждении. Вот смотрите, если $xy=g(x)+h(y)$, то при $x=0$ получаем $0 = g(0) +h(y)$, откуда $h(y) = -g(0)=\operatorname{const}$. Аналогично и $g(x)$ -- постоянная функция. И их сумма.

И вообще для функции, разлагающейся в сумму, верно, что $f(x,y_1)-f(x,y_2)$ не зависит от $x$. А это же не для всякой функции верно!

[Anton_Peplov]

Да, спасибо. Красивое утверждение не состоялось.
Постараюсь найти эту книгу и еще раз посмотреть, что буквально там было сказано.

[ИСН]

Это тринадцатая проблема Гильберта: грубо говоря, есть ли функции трёх переменных, которые не выражаются через композицию функций от одной и двух. Нет таких функций.

[Anton_Peplov]

Ах, через композицию... Ну - композиция - штука куда более мощная.

-- 06.09.2015, 02:35 --

В статье Арнольда "О функциях трех переменных" (1957 г.) нашел точную формулировку:

Любая заданная на единичном кубе $E^3$ действительная непрерывная функция $f(x_1,x_2,x_3)$ трех переменных может быть представлена в виде

$$ f(x_1,x_2,x_3) = \sum_1^3\sum_1^3h_{ij}[\varphi_{ij}(x_1,x_2),x_3] $$

где функции двух переменных $h_{ij}$ и $\varphi_{ij}$ действительны и непрерывны.

Это надо осмыслить.

[Sender]

ИСН в сообщении #1050816 писал(а):

есть ли функции трёх переменных, которые не выражаются через композицию функций от одной и двух

Смутно припоминаю, что для такого представления достаточно единственной функции двух переменных, а именно функции их сложения.

[Hasek]

При наличии времени очень рекомендую посмотреть лекцию Стаса Шапошникова от 13-го марта. Он как раз доступно для первокурсников всё это рассказывал. Также можете попробовать порешать четвёртый листок по Анализу-2 (где доказательство теоремы Колмогорова разбито на серию задач).
http://ium.mccme.ru/IUM-video.html#Spring-2015:

[Anton_Peplov]

Sender
Оригинальную формулировку Колмогорова я привел выше. Там о характере этих функций двух переменных ничего не говорится, кроме непрерывности. Может быть, потом кто-то усилил эту теорему, но без точной формулировки сказать нельзя. Я вот уже стукнулся лбом о смутные припоминания.

Hasek
Спасибо. При наличии времени посмотрю. Где бы еще взять это наличие времени...

[Hasek]

Anton_Peplov в сообщении #1050962 писал(а):

Hasek
Спасибо. При наличии времени посмотрю. Где бы еще взять это наличие времени...

Ой, напутал... Всячески прошу прощения -- нужная Вам лекция от 20-го марта. (это листок был выдан 13-го за неделю до, а видеозапись лекции 20-го числа)

[Sender]

Anton_Peplov в сообщении #1050962 писал(а):

Может быть, потом кто-то усилил эту теорему, но без точной формулировки сказать нельзя.

Собственно, этим кем-то сам же Колмогоров и был. Вот можете взглянуть на статью Арнольда, начиная со стр. 55. Там утверждается и затем доказывается следующее:

Цитата:

каждая непрерывная функция $n$ переменных, заданная на единичном кубе $n$-мерного пространства $E_n$, представима в виде

$$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum\limits_{q=1}^{2n+1}h_q[ \sum\limits_{p=1}^{n}\varphi_q^p(x_p) ], \eqno(6)$$

где функции $h_q(u)$ – непрерывны, а функции $\varphi_p^q(x_p)$, кроме того, ещё стандартны, т.е. не зависят от выбора функции $f$

(Оффтоп)

Хм, похоже, обнаружил опечатку у Арнольда, обратите внимание на чехарду с индексами.

[Anton_Peplov]

Ага, спасибо. Я смотрел более раннюю статью.

Кстати - могу понять, почему куб, но почему он единичный?

[INGELRII]

Тык если нас интересует неединичный куб, то берем единичный и масштабируем, как нам надо.

[Anton_Peplov]

Тогда зачем вообще слово "единичный" в формулировке теоремы? "Заданная на Кубе на кубе" - да и все.