Движение под углом к горизонту

[Munin]

...Я не вспомню то, что никогда не знал...

Лучше вспомнить формулу $a=\dfrac{v^2}{R},$ и услышать подсказку, что она относится не только к движению по окружности, но и к движению по другой кривой, где $R$ приобретает смысл радиуса кривизны.

Я всё ждал, пока foundate пройдёт по ссылке и откроет учебник Савельева. Процитирую ключевой кусок:

Цитата:

Чем больше искривлена траектория (чем меньше <радиус> $R$ окружности), тем больше <нормальное ускорение (перпендикулярное к траектории)> $w_n$ при той же величине скорости $v.$ За меру кривизны принимается величина $1/R,$ которую называют кривизной окружности.

Очевидно, что ускорение точки, движущейся по произвольной кривой, также будет зависеть от кривизны траектории, которая в разных точках будет различна. В дальнейшем для простоты мы ограничимся рассмотрением только плоских кривых. Кривизна плоской линии в какой-либо ее точке равна кривизне окружности, сливающейся в данном месте с кривой на бесконечно малом ее участке. Такую окружность называют кругом кривизны плоской линии в данной точке. ... Радиус этого круга даст радиус кривизны линии в точке 1, а центр круга — центр кривизны для точки 1.

[мат-ламер]

foundate в сообщении #1051012 писал(а):

Следовательно получается, раз скаляр, который, в вершине траектории равен горизонтальной составляющей вектора $\mathbf{V}$, то производная этой скалярной функции будет равна нулю т.к. горизонтальная составляющая скорости со времен не изменяется?

А вот вертикальная составляющая в верхней точке равна нулю. Следовательно модуль там наименьший. (Привлечь ещё, что производная гладкой функции в точке минимума равна нулю). Вы чуть-чуть недоговорили. Можно было ещё привлечь закон сохранения энергии. Считать было не обязательно. Но Munin считает, что через вычисления приходит понимание.

-- Пн сен 07, 2015 22:08:06 --

amon в сообщении #1051141 писал(а):

Кривизну можно попробовать объехать на кривой козе, если вспомнить формулу $F=\frac{mV^2}{R}$, и правильно воспользоваться этим сакральным знанием.

-- Пн сен 07, 2015 22:11:01 --

foundate в сообщении #1051105 писал(а):

Осталось разобраться с кривизной

Попробуйте сами вывести формулу для кривизны. Допустим есть окружность. Как найти в данной точке касательную к ней параболу (касательную до второго порядка)? (Физики намекают на некие физические соображения. Не знаю).

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1051380 писал(а):

Но Munin считает, что через вычисления приходит понимание. :lol:

В данном случае я бы как раз решал задачу "на пальцах". Но это - не то, зачем она задана. Задана она для того, чтобы получить ответ "по правилам". Это важно: нужно освоить стандартный рецепт, процедуру, чтобы воспроизводимо получать ответы, а не надеяться на то, что "осенит".

мат-ламер в сообщении #1051380 писал(а):

Физики намекают на некие физические соображения. Не знаю

А вот это вам полезно было бы додуматься. Попробуйте.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1051391 писал(а):

А вот это вам полезно было бы додуматься. Попробуйте.

Меня смутило то, что тело движется с переменной скоростью. Однако мы можем действовать в духе СТО и считать, что в движущихся телах время замедляется. Причём замедляется так, что тело всё время движется с постоянной скоростью. Тем самым избавляемся от тангенциального ускорения. Осталось нормальное ускорение пересчитать для нового времени.

[Munin]

Мимо. Переменная скорость здесь не мешает. Лучше вспомните, под действием чего движется тело, и что физического можно сказать о его ускорении.

[arseniiv]

мат-ламер в сообщении #1051445 писал(а):

Тем самым избавляемся от тангенциального ускорения.

Я бы избавился от него попроще. Возьмём внешнее произведение с ну, хотя бы, скоростью: $\mathbf a\wedge\mathbf v = {\color{red} \mathbf a_\parallel\wedge\mathbf v} + \mathbf a_\perp\wedge\mathbf v = \mathbf a_\perp\wedge\mathbf v$. Всё! Нету тангенциального! Осталось только понять, как может пригодиться внешнее произведение.

-- Вт сен 08, 2015 15:32:01 --

А если так хочется перепараметризации, удачи в обращении функции $s(t) = \operatorname{sgn}t\,\int_0^t v\, dt$. (Ведь именно $\mathbf r\circ s^{-1}$ даёт естественную.)

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1051452 писал(а):

Мимо. Переменная скорость здесь не мешает. Лучше вспомните, под действием чего движется тело, и что физического можно сказать о его ускорении.

Мимо - не то слово. Скорее можно сказать - излишне заморачиваюсь. То что вы пишите - совершенно понятно. Мне не понятно было, почему это должно работать? В памяти отлеглась лишь теорема о движении по кривой с постоянной скоростью (натуральная параметризация). Тогда естественна связь между скоростью, ускорением и кривизной. Непонятно, почему это будет работать при произвольной парметризации? Ну, подсчитал я тем методом, что писал. Получил для радиуса кривизны формулу типа (ЕМНИП) $R=v^3/(v_1g)$, где $v$ - скорость тела, $v_1$ - горизонтальная скорость. И это совпадает с результатом, если бы разложили ускорение на тангенциальную и нормальную составляющие, и на тангенциальную не обращаем внимание. Почему можно не обращать внимание - пока не ясно, но думаю, что разберусь. Первую мысль arseniiv не догоняю совершенно.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1051665 писал(а):

Мне не понятно было, почему это должно работать? В памяти отлеглась лишь теорема о движении по кривой с постоянной скоростью (натуральная параметризация).

Ну вот из-за дырявой памяти и непонятно. В общем случае, при произвольной (гладкой монотонной) параметризации есть две компоненты ускорения: касательная и нормальная. Касательная нас просто не интересует, и всё, что делает натуральная параметризация - избавляется от неё.

[arseniiv]

мат-ламер в сообщении #1051665 писал(а):

Первую мысль arseniiv не догоняю совершенно.

Можно взять векторное, если внешнее по какой-то причине не устраивает.

[мат-ламер]

arseniiv в сообщении #1051704 писал(а):

Можно взять векторное,

Спасибо! Внезапно всё прояснилось. Записывая радиус кривизны как $R=v^3/|\mathbf{v} \times \mathbf{a}|=v^2/a_n$, где $a_n$ - модуль нормальной составляющей ускорения, видим, что тангенциальная составляющая ускорения на результат не влияет. Однако эту (последнюю) формулу в учебниках я не нашёл. Возможно это потому, что физикам она кажется и так очевидной. arseniiv. Что можно почитать по поводу применения внешнего произведения в физике? Вн. произведение диф. форм я понимаю. Векторное произведение и антисимметричные тензоры второго порядка - это тоже каким-то боком касается внешнего произведения? В учебниках линейной алгебры вн. произведение есть, но без физических приложений.

[arseniiv]

мат-ламер в сообщении #1052028 писал(а):

Векторное произведение и антисимметричные тензоры второго порядка - это тоже каким-то боком касается внешнего произведения?

Угу. Внешнюю алгебру $\bigwedge V$ можно получить как фактор тензорной $TV$ по идеалу $\langle v\otimes v : v\in V \rangle$, т. е. «постулировав» равенство нулю произведений векторов на себя.

Вообще, везде где видите векторное произведение, можно, немного изменив декорации, аккуратно подставить внешнее. (И это будет правильнее по причинам, которые здесь оффтопик, как и внешнее произведение, зачем я его упомянул.)

-- Ср сен 09, 2015 22:45:21 --

(Оффтоп)

И вообще, про физику именно меня вы спрашиваете зря. Хотя она и не нужна для разбирательства с формулой для кривизны…

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1052028 писал(а):

Что можно почитать по поводу применения внешнего произведения в физике?

Во-первых, правильно сказал arseniiv:

arseniiv в сообщении #1052036 писал(а):

Вообще, везде где видите векторное произведение, можно, немного изменив декорации, аккуратно подставить внешнее.

Во-вторых, это принято далеко не во всех физических учебниках, а только в редких: "продвинутых", "понтовых", и больше нацеленных на математиков, чем физиков. Физикам привычнее (и в учебниках популярнее) векторный и тензорно-индексный язык, а не внешние формы.

[arseniiv]

…или поливекторы.