2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Простой вопрос про двойственность Пуанкаре
Сообщение08.03.2008, 02:45 
Добрый день!

У меня один совсем простой вопрос, про гомологии. Вот есть дуальность (двойственность) Пуанкаре-Лефшеца для компактного многообразия с границей: H^k(X,\partial X)\simeq H_{n-k}(X). Применим это к трехмерному многообразию: "шарик, из которого вырезан полноторий", k = 2. Одномерная гомология у меня одна есть -- это петля, опоясывающая тор. Но двумерных я что-то не вижу. Ведь, казалось бы, лубой двумерный цикл в моем пространстве либо стягиваем, либо опоясывает тор, а значит выносится на границу, то есть относительных двумерных когомологий как будто нет. Где-то глупая ошибка... Где?

upd: Вопрос решен.

 
 
 
 
Сообщение08.03.2008, 20:51 
Аватара пользователя
Не считаю Ваш вопрос простым и не могу на него ответить,
но у меня к Вам вопрос: Вы какие книги по этой теме
(двойственность Пуанкаре, гомологии- когомологии) читаете
и считаете лучшими?
Я знаю только Фоменко, но он для меня "очень быстрый", мне бы что-нибудь ещё...
и желательно по-русски.
Скоро (через 2 месяца) экзамен. :)

 
 
 
 
Сообщение08.03.2008, 21:05 
Аватара пользователя
Вот Вам, Таня, подарок к 8 Марта из набора ссылок на нужные Вам книги: http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?st=%D0%B3%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%B8+%2C+%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%B8

 
 
 
 
Сообщение08.03.2008, 21:11 
Аватара пользователя
Brukvalub мне когда-то посоветовал это. ИМХО довольно неплохая книга по когомологиям

 
 
 
 
Сообщение08.03.2008, 21:22 
Аватара пользователя
Brukvalub, спасибо!
Жаль что не все они в свободном доступе.

 
 
 
 
Сообщение08.03.2008, 21:57 
Таня Тайс писал(а):
Вы какие книги по этой теме
(двойственность Пуанкаре, гомологии- когомологии) читаете
и считаете лучшими?
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html

Но на русский ее, к сожалению, еще не перевели, хотя Прасолов этим уже занимается.

 
 
 
 
Сообщение09.03.2008, 06:14 
Странно -- я уверен, что это очень простой вопрос, наверняка я где-то определение не так понял или не так использую. Ведь это довольно известная теорема, и на таком простом примере должно быть сразу видно, как она работает.

Что касается книжек -- сам я физик (теоретик), так что те книжки, что я читаю, вряд ли будут полезны вам как математикам, тем более для подготовки к зачету. Из ресурсов в свободном доступе онлайн есть записки лекций по теории гомологий М. Э. Казаряна -- я слушал его курс в Стекловке. Линк: http://www.mi.ras.ru/noc/lections/03kazarian.pdf. Из книг -- я читал Дубровина-Новикова-Фоменко, и Новикова-Тайманова, "Современные геометрически структуры и поля".

Но может, кто-нибудь все же сможет помочь мне с этим якобы "контрпримером"?

 
 
 
 
Сообщение10.03.2008, 21:17 
Мда. Как и предполагалось, все тривиально.

Диск, чья граница лежит целиком на вырезанном торе и образует нестягиваемый цикл (поверхность мыльной пленки, которая останется на торе, если его окунуть в мыльный раствор -- такая, что закрывает "дырку") -- есть та самая нестягиваемая двумерная поверхность, граница которой ноль, и которая дуальна той одномерной цепи. И об этом можно было бы сразу догадатся, так как по построению дуальности это должна быть поверхность, которую этот одномерный цикл протыкает ровно один раз.

Всем спасибо за участие!

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group