Стандартное отклонение

[geomath]

При сложении случайных величин их матожидания складываются, их стандартные отклонения (корень квадратный из дисперсии) тоже складываются, но сложнее. А нельзя ли определить сложение случайных величин так, чтобы их стандартные отклонения складывались в обычном смысле, как и матожидания?

[нг]

пока — в «Помогите решить/разобраться». Если не будет смысла — уйдёт в «Дискуссионные».

[PAV]

Ну можно применить к сумме линейное преобразование так, чтобы среднее не поменялось, а СКО стало таким, как нужно. Можно даже назвать это как-нибудь "обобщенная сумма". От суммы при этом останется немного, поскольку сумма значений случайных величин в каждой точке зависит от значений этих величин на всем пространстве. А какой в этом смысл?

[geomath]

PAV писал(а):

Ну можно применить к сумме линейное преобразование так, чтобы среднее не поменялось, а СКО стало таким, как нужно. Можно даже назвать это как-нибудь "обобщенная сумма". От суммы при этом останется немного, поскольку сумма значений случайных величин в каждой точке зависит от значений этих величин на всем пространстве. А какой в этом смысл?

Но ведь это будет преобразование только для данного случая? А хотелось бы иметь целую операцию... Какой в этом смысл? Это вопрос не к математике. Если же вы о приложениях спрашиваете, то вот говорят, например, что СКО имеет смысл погрешности. А с другой стороны, говорят, что погрешности складываются (даже если сами величины вычитаюся). Нехорошо поэтому как-то выходит. Однако я на операции не настаиваю, можно пожертвовать не операцией, а СКО.

[PAV]

СКО - это средняя погрешность. А когда погрешности складываются, то речь идет о максимальных (гарантированных). Средние ведут себя по-другому. Дисперсии вообще ведь складываются только если измерения независимы, а иначе нет.

[geomath]

Если взять СКО суммы двух независимых нормально распределенных с.в., то оно будет строго меньше суммы их СКО. И о чем оно говорит? Да всего лишь о том, что сумма примерно в 70% случаев не выйдет за его рамки. Поэтому называть СКО погрешностью - это натяжка.

[PAV]

Да, натяжка. Это не погрешность, но оно характеризует определенным образом погрешность.

[Mikhail Sokolov]

При определенных дополнительных предположениях ничего путного придумать нельзя.

1. Сначала ответим на следующий вопрос: предположим, что операция сложения независимых случайных величин определена стандартным образом (операция свертки). Можно ли как-то так определить функционал $\mathbb{D}$ (интерпретируемый как средняя погрешность) из множества случайных величин (определенных на одном вероятностном пространстве) с конечным математическим ожиданием в множество действительных чисел $\mathbb{R}$, что $\mathbb{D}[X+Y]=\mathbb{D}[X]+\mathbb{D}[Y]$ и $\mathbb{D}[aX]=a\mathbb{D}[X]$ для любых двух независимых случайных величин $X$, $Y$ и числа $a>0$?
Нетрудно доказать, что при дополнительном предположении о непрерывности функционала относительно сходимости случайных величин по вероятности, единственным таким функционалом является $\mathbb{D}[X]=c\mathbb{E}[X]$, где $\mathbb{E}[X]$ - математическое ожидание соответствующей случайной величины, $c$ - произвольная константа.

2. Теперь о каком-то другом определении операции $s(X,Y)$ сложения случайных величин (здесь $s$ - это какая-то двуместная функция, в случае стандартного определения: $s(X,Y)=X+Y$). Надо понять, чего мы ожидаем от такой операции? Прежде всего того, чтобы результат операции $s(X,Y)$ также являлся случайной величиной. Этого можно добиться, например, потребовав непрерывность функции $s$. Далее, чаще всего требуют, чтобы эта операция образовывала группу на множестве вырожденных случайных величин (или полугруппу на множестве всех случайных величин и строго монотонно возрастала). В обоих случаях это ведет к операции вида $s(X,Y)=f^{-1}(f(X)+f(Y))$ для некоторой непрерывной строго монотонной функции $f$, то есть к группе, изоморфной группе из пункта 1. И аналогичные рассуждения приводят к тому, что единственным "приличным" функционалом здесь является $\mathbb{D}[X]=c\mathbb{E}f(X)$.

[незваный гость]

Я думаю, что основная проблема состоит в том, что geomath не знает (не понимает), что такое случайная величина в математике (и чем это отличается от приложения ТВ в статистике (но не мат.статистике)).

geomath, может быть Вы сформулируете определение, из которого Вы исходите?

[geomath]

Mikhail Sokolov писал(а):

... и числа a > 0...

Вообще-то про умножение на число я ничего не говорил...

незваный гость писал(а):

geomath не знает (не понимает)...

Не учли еще одной возможности: geomath попросту забыл... Некоторые только что что-то узнали, а geomath это что-то уже успел забыть... от старости.

[Евгений Машеров]

1. Величина, которая складывается, при сложении случайных величин, существует. Это дисперсия.
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.
2. Стандартное отклонение связано с дисперсией однозначно, как корень квадратный.
3. Неудобство использования дисперсии связано с тем, что её размерность отличается от размерности исходной величины, и является квадратом.
4. Это неудобство, вынуждающее оперировать и с дисперсией, и с СКО, неустранимо, пока мы говорим о независимых величинах.
5. Для того, чтобы СКО суммы случайных величин было равно сумме СКО слагаемых, нужно, чтобы корреляция между ними была бы равна единице. Иначе говоря, чтобы у нас была бы только одна случайная величина, и набор линейных функций от неё, которые мы бы рассматривали, как разные случайные величины. Если корреляции не равны единице, то такое условие невозможно.
6. Если бы сумма независимых случайных величин имела бы СКО, равное сумме СКО слагаемых, стали бы невозможны страховой бизнес, банковское дело, резервирование место в гостиницах и т.п. Во всех этих и множестве других случаев (теория погрешностей в естественных науках, теория размерных цепей в технике, теория артиллерийской стрельбы) существенно используется тот факт, что усреднение приводит, как правило, к повышению точности.
7. Если независимые случайные величины наглядно изобразить, как перпендикулярные вектора, то требование, чтобы СКО суммы было бы равно сумме СКО слагаемых (вместо того, чтобы дисперсия суммы была бы равна сумме дисперсий) совершенно подобно требованию, чтобы гипотенуза была равна сумме катетов (а не - квадрат гипотенузы равен сумме квалратов катетов).

[geomath]

Вот элементарные физические частицы и античастицы. По отдельности это вроде бы независимые вероятностные сущности, и поэтому, казалось бы, частицы и античастицы должны складываться как независимые случайные величины. Однако стоит им сблизиться, как они мгновенно узнают друг друга и быстренько согласуются, чтобы сложиться (аннигилировать) уже как коррелированные величины. Спрашивается, откуда берется эта динамика? Как ее объясняет теория вероятностей?

[CyXOB][]

Измеряйте не СКО, а дисперсию и не будет никаких проблем )

[PAV]

geomath писал(а):

Вот элементарные физические частицы и античастицы. По отдельности это вроде бы независимые вероятностные сущности, и поэтому, казалось бы, частицы и античастицы должны складываться как независимые случайные величины. Однако стоит им сблизиться, как они мгновенно узнают друг друга и быстренько согласуются, чтобы сложиться (аннигилировать) уже как коррелированные величины. Спрашивается, откуда берется эта динамика? Как ее объясняет теория вероятностей?

Будете продолжать в таком духе - тема отправится в свободный полет. Просто предупреждаю.